Introduzione al corso.
Obiettivi del corso, modalità, testi, e altre informazioni
utili. Obiettivi generali della scienza. La necessità di
conoscere e la gratificazione della conoscenza.
Il metodo scientifico
Leggi, principi, teorie.
Il ruolo dell'osservazione quantitativa.
L'errore sperimentale. L'estensione e la generalizzazione delle
teorie. I numeri, la logica e il linguaggio matematico. Il
perché e il come di un fenomeno. Le congetture e la
sensata esperienza: l'esempio di Galileo.
L'osservazione quantitativa dei fenomeni.
L'esempio di Keplero e le misure dell'orbita di Marte.
Il tempo.
Idea intuitiva di tempo. Fenomeni regolari e periodici.
Orologi. Il tempo è la grandezza fisica che si
misura tramite orologi. Campioni di tempo e unità di
misura: il secondo. L'omogeneità del tempo. Il problema
della sincronizzazione.
Lo spazio.
Idea intuitiva di spazio. La misura delle distanze tramite
aste graduate. Campioni e unità di misura: il metro.
L'omogeneità e l'isotropia dello spazio. Le coordinate
spaziali e la terna di assi orientati. I sistemi di riferimento.
Il punto materiale e la sua posizione nello spazio: vettori. Il
moto di un punto materiale nello spazio: traiettoria e leggi
orarie.
Ripasso di trigonometria
(1 ora facoltativa) Misura di angoli. Cerchio goniometrico.
Definizioni di seno, coseno, tangente, cotangente.
Alcune considerazioni su spazio e tempo
La definizione operativa delle grandezze fisiche. Spazio e
tempo come grandezze continue, tradotte in numeri reali per
mezzo delle operazioni di misura. La scelta della geometria
euclidea per rappresentare lo spazio fisico.
Vettori
Rette orientate, versori, vettori.
Modulo di un vettore. Prodotto di un vettore
per uno scalare. Opposto di un vettore. Somma di vettori con la
regola del parallelogrammo. Differenza di vettori. Decomposizione
di un vettore secondo le componenti in direzioni assegnate.
Coordinate ortogonali cartesiane. Vettori come n-ple di numeri.
Somma e differenza di vettori per componenti. Prodotto scalare
di due vettori.
Velocità
Idea intuitiva di velocità. Definizione di velocità
media come rapporto tra spostamento e intervallo di tempo.
Definizione di velocità istantanea come derivata prima
della posizione rispetto al tempo. Calcolo dello spostamento
come integrale della velocità nel tempo. Unità di
misura della velocità. Parentesi sul controllo dimensionale
nelle relazioni tra grandezze fisiche.
Accelerazione
Idea intuitiva di accelerazione. Definizione di accelerazione
media come rapporto tra incremento di velocità e
intervallo di tempo. Definizione di accelerazione istantanea
come derivata prima della velocità e derivata seconda
della posizione rispetto al tempo. Unità di misura
dell'accelerazione. Parentesi sul significato di "tempo al
quadrato".
Cinematica: moto uniforme e moto uniformemente accelerato in 1D
Moto in una dimensione (1D). Caso particolare del moto con
accelerazione costante. Relazioni tra tempo, spazio,
velocità e accelerazione. Grafici velocità-tempo
e interpretazione grafica degli integrali e delle derivate.
Caso particolare del moto con accelerazione nulla (velocità
costante), detto moto uniforme.
Esercizio
Un convoglio di metropolitana viaggia tra due
stazioni A e B, distanti 4 Km, potendo accelerare o frenare
con accelerazione fissata di 1 m/sec2, positiva
o negativa. Calcolo del tempo minimo di percorrenza. Stesso
calcolo ma imponendo una velocità massima di 60 Km/h.
Ripasso di trigonometria
(1 ora facoltativa) Formule utili con funzioni
goniometriche. Trangoli rettangoli e triangoli
qualsiasi: principali relazioni trigonometriche.
Esercizio
Moto in 1D: due corpi lanciati verticalmente e
soggetti all'accelerazione di gravità. Stesso
lancio ma in tempi diversi. Calcolo della quota d'incontro.
Grafici della velocità e della quota nel tempo.
Moto uniformemente accelerato in 3D
Moto in 3D. Nel caso di accelerazione costante la
traiettoria è confinata al piano individuato
dalla velocità iniziale e l'accelerazione. Il
moto può essere visto come composizione di
moti indipendenti lungo direzioni assegnate. Questo
è vero in generale e corrisponde ad una assunzione
di partenza (un principio) nella descrizione fisica
del movimento.
Moto di un corpo soggetto alla gravità
Come esempio di moto ad accelerazione costante abbiamo
esaminato il caso di un corpo soggetto alla gravità,
calcolando la traiettoria, il tempo di volo e la gittata.
Moto curvilineo in 3D
Abbiamo riscritto le relazioni vettoriali che legano la
posizione, la velocità e l'accelerazione. Nel descrivere
il moto si possono decomporre i vettori secondo direzioni
opportune. Nel seguire un punto materiale lungo una traiettoria
conviene spesso utilizzare la "rappresentazione intrinseca", che
corrisponde a scegliere due versori, uno diretto come la tangente
alla traiettoria, punto per punto, e l'altro ortogonale al
primo. Abbiamo visto come si scrivono la velocità e
l'accelerazione con questi versori, definendo l'accelerazione
tangenziale e l'accelerazione centripeta.
Moto circolare uniforme
Come caso particolare abbiamo visto il moto su una traiettoria
circolare di raggio R, con velocità tangenziale costante.
Abbiamo definito la velocità angolare, il periodo e
la frequenza.
Esercizio
Assegnata la distanza media terra-luna, abbiamo stimato la
velocità (tangenziale) di rotazione della luna attorno
alla terra, la velocità angolare e l'accelerazione
centripeta.
Moto circolare
Abbiamo definito l'accelerazione angolare e abbiamo
visto quali sono le relazioni tra angolo, velocità
angolare e accelerazione angolare, analoghe a quelle
per la posizione, la velocità e l'accelerazione
nel moto unidimensionale. Abbiamo accennato al
significato dei gradi di libertà nel movimento dei
corpi.
Esercizio
Un volano accelera da una certa velocità
angolare ad un'altra in un dato intervallo di tempo con
accelerazione costante. Abbiamo calcolato l'accelerazione e
l'angolo totale descritto nella rotazione.
Esercizio
Abbiamo considerato la rotazione della terra sul
suo asse, con periodo di 1 giorno. Abbiamo calcolato
la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta
di un punto generico sulla superficie, in funzione della
latitudine e nel caso particolare della nostra latitudine.
Abbiamo commentato il fatto che nella vita quotidiana
non abbiamo la percezione né della velocità
nella dell'accelerazione associate alla rotazione del
pianeta.
Introduzione alla dinamica newtoniana
La dinamica come studio del movimento dal punto di
vista delle cause (fisiche). Il contesto storico in
cui è nata la dinamica classica. Gli ingredienti
essenziali, nella formulazione newtoniana: inerzia,
quantità di moto, massa (inerziale e gravitazionale),
forza, equazione del moto, azione-reazione, principio di
relatività. L'insieme di questi ingredienti
costituisce la base della teoria. Questi ingredienti li
introdurremmo un po' alla volta, ma il loro significato
diventa compiuto e soddisfacente solo se presi nel loro
insieme.
Funzioni reali e derivate
(1 ora facoltativa) Funzioni reali di variabile reale. Definizione
di derivata e alcune proprietà delle derivate. Esempi.
Inerzia
L'idea intuitiva d'inerzia. Gli enunciati di Galileo e di Newton.
I sistemi di riferimento inerziali. Il principio di relatività.
Moto libero e equivalenza di quiete e moto uniforme.
Massa e quantità di moto
Un corpo modifica il suo stato di moto (rispetto al moto libero)
per effetto dell'azione esercitata dagli altri corpi. La risposta
del corpo all'azione degli altri è quantificabile tramite
la massa del corpo. Procedure operative per misurare la massa
(inerziale) tramite misure di variazione di velocità. La
quantità di moto è il prodotto della massa per la
velocità di un corpo.
Forza e seconda legge di Newton
Variazione di quantità di moto in intervalli di
tempo piccoli. Concetto di forza come rappresentazione quantitativa
(vettoriale) dell'azione degli altri corpi su un corpo dato. La
seconda legge di Newton.
Appunti su questa lezione e la prossima si trovano qui, in formato pdf.
Alcune osservazioni sulla II legge di Newton
La II legge non è una definizione di forza. I vari tipi
di forza andranno introdotti indipendentemente, a seconda dei
fenomeni studiati. Il linguaggio matematico naturale per la
dinamica è quello del calcolo infinitesimale e delle
equazioni differenziali. Nel caso di corpi di massa costante
la II legge diventa la famosa F=ma. La I e la II legge sono
consistenti tra loro, ma contengono informazioni diverse sulla
natura del moto dei corpi.
Il principio di azione e reazione e la conservazione della
quantità di moto
Ogni volta che un corpo A esercita una forza su un corpo B, il
corpo B esercita su A una forza uguale e opposta. Per due
corpi che interagiscono solo tra loro, la precedente affermazione
implica la conservazione della quantità di moto totale,
somma vettoriale delle quantità di moto dei due corpi.
Appunti su questa lezione e la precedente si trovano qui, in formato pdf.
Forze costante e forza peso
Se inseriamo nella II legge di Newton una forza costante
otteniamo un moto uniformemente accelerato. Un esempio di
moto uniformemente accelerato osservabile in natura è il
moto di caduta dei corpi in prossimità della superficie
terrestre. La causa di tale moto è l'attrazione che
la terra esercita su tutti i corpi. Tale attrazione la chiamiamo
forza peso. Osserviamo sperimentalmente che l'accelerazione
di gravità è la stessa per tutti corpi,
indipendente dalla loro massa. Questo implica, sulla base
della II legge di Newton, che la forza peso è
proporzionale alla massa dei corpi su cui agisce.
Forza elastica e moto armonico
Alcuni materiali hanno la capacità di deformarsi in
modo tale che per deformarli richiedono una forza esterna
proporzionale alla deformazione. Abbiamo considerato una
massa attaccata ad una molla e abbiamo definito la forza
elastica (F=-kx). La II legge di Newton applicata al moto
della massa soggetta alla forza della molla si trasforma in
un'equazione differenziale la cui soluzione è armonica
(funzioni seno e coseno), con pulsazione data dalla radice
quadrata del rapporto tra costante elastica e massa.
Derivate e integrali
(1 ora facoltativa) Proprietà delle derivate. Esempi
di derivate di funzioni elementari. Primitiva di una funzione
e integrale indefinito. Esempi di integrale.
Moto armonico
Il moto armonico causato da una forza proporzionale allo
spostamento da un punto assegnato può essere anche
visto come la proiezione su un asse di un moto circolare
uniforme. Abbiamo visto qual è il significato delle
due costanti d'integrazione e come vengono determinate
dalla conoscenza delle condizioni iniziali del movimento.
Sovrapposizione di forze: peso e forza elastica
Abbiamo considerato una massa attaccata ad una molla in
direzione verticale. Sulla massa agiscono contemporaneamente
la forza peso e la forza elastica. Le forze si sommano
vettorialmente (principo di sovrapposizione). La forza
risultante entra nella II legge di Newton e determina
il moto. In questo caso il moto è ancora armonico
ma rispetto ad una nuova pozizione di equilibrio. La
nuova posizione di equilibrio si trova imponendo che
il peso e la forza elastica siano uguali in modulo e
di verso opposto. La misura dell'allungamento della molla
all'equilibrio può essere usata come misura della
massa del corpo appeso. Abbiamo accennato all'equivalenza
di massa inerziale e massa gravitazionale.
Esercizio
Esercizio di cinematica: corpo che cade da un tetto di
una casa. Calcolo della traiettoria. Il corpo urta contro la
parete di una casa di fronte: in quale istante e a quale altezza?
Piano inclinato
Reazioni vincolari. Massa appoggiata ad un piano inclinato.
Calcolo dell'accelerazione in funzione dell'angolo di inclinazione.
Equilibrio di due masse collegate da un filo inestensibile, una
sul piano inclinato e l'altra appesa in posizione verticale.
Catena di Stevino.
Macchina di Atwood
Due masse appese ai due lati di una carrucola, tramite un filo
inestensibile e di massa trascurabile. Calcolo dell'accelerazione.
Pendolo
Massa appesa tramite un filo inestensibile. Oscillazioni
rispetto alla posizione di equilibrio. Equazione del moto.
Approssimazione di piccole ampiezze (si consiglia di vedere
la pagina di Wikipedia sulla
serie
di Taylor oppure la pagina di
HyperPhysics dedicata al pendolo semplice).
Calcolo del periodo di oscillazione. Analisi dimensionale.
Integrali
(1 ora facoltativa) Integrali indefiniti. Metodi di integrazione:
per sostituzione di variabile, per parti, per decomposizione
in somma. Esempi. Integrali definiti.
Moto di un corpo immerso in un fluido: attrito viscoso
Definizione di attrito viscoso, proporzionale alla velocità.
Coefficiente di resistenza viscosa e coefficiente di viscosità.
Equazione del moto per un corpo che cade in un fluido. Velocità
limite. Andamenti asintotici della velocità e della legge
oraria. Moto di un paracadutista, prima e dopo l'apertura del
paracadute. La riduzione della gittata per un proiettile in
aria. La spinta di Archimede per un oggetto esteso immerso in
un fluido.
Attrito radente
Corpo che scivola su una superficie ruvida. Definizione di forza di
attrito radente. Coefficiente di attrito radente (dinamico).
Attrito radente
Moto di un corpo su un piano inclinato scabro. Accelerazione in
funzione dell'angolo. Coefficiente di attrito statico.
Esercizio
Corpo su un piano orizzontale scabro, con velocità
iniziale assegnata. Abbiamo calcolato il coefficiente di
attrito dinamico in funzione dello spazio di frenata.
Esercizio
Cinematica: calcolo della profondità di un pozzo
usando la misura del ritardo di tempo tra l'istante in cui
si lascia cadere una pietra e l'istante in cui si sente
il tonfo.
Esercizio
Pendolo conico. Relazione tra velocità angolare e
angolo rispetto alla verticale.
Gravitazione
Legge di attrazione gravitazionale. Abbiamo visto come Newton ha
derivato l'espressione della forza di attrazione tra due masse
qualsiasi a partire dalle conoscenze precedenti sui moti
planetari e sulla caduta dei gravi e utilizzando i principi
della dinamica. Abbiamo visto come si può predire
l'accelerazione di gravità g noto il raggio
della terra, la distanza terra-luna e il periodo di rotazione
della luna attorno alla terra. La gravitazione è una delle
interazioni fondamentali in natura.