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Relatività galileiana
L'inerzia e la relatività del moto. I sistemi di riferimento inerziali. L'idea newtoniana di tempo assoluto e spazio assoluto. Il sistema di riferimento delle stelle fisse. La posizione di un punto materiale misurata in due sistemi di riferimento diversi, inerziali. Le leggi di trasformazione di Galileo per le coordinate spaziali e il tempo. L'invarianza delle distanze. La composizione delle velocità. L'invarianza dell'accelerazione. L'invarianza delle leggi della dinamica. Il principio di relatività in questa forma: sulla base di esperimenti di meccanica condotti esclusivamente all'interno di un sistema di riferimento inerziale è del tutto impossibile distinguere se quel sistema è in quiete o in moto rettilineo uniforme. Abbiamo visto alcuni esempi.

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Esercizio
Un treno si muove a velocità costante su un binario rettilineo. Ad un certo istante un cannoncino, posto sul treno, spara un proiettile verticalmente. Abbiamo calcolato la traiettoria del proiettile nel sistema di riferimento solidale con il treno e nel sistema di riferimento solidale con la terra, trascurando effetti di attrito e di rotazione.

Esercizio
Una barca attraversa un fiume a velocità costante, collegando due punti posti l'uno di fronte all'altro perpendicolarmente alla riva. Nota la velocità dell'acqua rispetto alla riva e il modulo della velocità della barca rispetto all'acqua, abbiamo calcolato il tempo impiegato per la traversata.

Esercizio
Un disco ruota in un piano a velocità angolare costante e, contemporaneamente, trasla con velocità costante. Abbiamo scritto le equazioni orarie per il moto di un punto P generico sul disco, a distanza R dal centro (equazioni parametriche del cicloide). Abbiamo calcolato la velocità e l'accelerazione del punto P. Abbiamo tracciato la traiettoria (cicloide) nel caso particolare in cui la velocità di traslazione del centro del disco sia uguale alla velocità di rotazione di P rispetto al centro stesso (condizione di puro rotolamento). Abbiamo discusso qualitativamente la forma del cicloide nel caso generale.

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Sistemi di riferimento accelerati
La seconda legge di Newton è valida in sistemi di riferimento inerziali. Per poterla usare anche in sistemi di riferimento accelerati occorre conoscere l'accelerazione di trascinamento del sistema rispetto ad un sistema inerziale; l'effetto dell'accelerazione di trascinamento può essere tradotto in una forza fittizia da inserire nell'equazione del moto in aggiunta alle forze reali. Abbiamo trattato il caso di sistemi in moto rettilineo accelerato. Abbiamo discusso l'esempio di esperimenti condotti in un ascensore (calcolo della tensione del filo di un pendolo in funzione dell'accelerazione dell'ascensore) incluso il caso limite della caduta libera ("assenza di gravità"). Abbiamo parlato del principio di equivalenza: una accelerazione costante del sistema di riferimento in una certa direzione è equivalente ad un campo di gravità uniforme in direzione opposta. Tale principio è strettamente connesso all'eguaglianza della massa inerziale e gravitazionale.

Esercizio
Un vagone di un treno accelera su un binario rettilineo. Ad un certo istante una vite si stacca dal soffitto di un vagone. Abbiamo calcolato la traiettoria sia nel sistema di riferimento inerziale solidale con i binari, sia nel sistema di riferimento non inerziale, accelerato, solidale con il treno.

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Prodotto vettoriale
Definizione di prodotto scalare e di prodotto vettoriale di due vettori. Prodotto vettoriale dei versori cartesiani. Prodotto vettoriale espresso in termini delle componenti dei vettori. Prodotto vettoriale e rotazioni: il vettore velocità angolare.

Sistemi di riferimento in rotazione
Un sistema di riferimento S' ruota rispetto ad un sistema inerziale S con velocità angolare costante. La velocità di una particella che si muove nello spazio è diversa se misurata in S o in S'. La differenza viene dalla dipendenza temporale dei versori di S' visti da S e può essere espressa come prodotto vettoriale della velocità angolare omega per il vettore posizione r'.

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Forza di Coriolis e forza centrifuga
L'accelerazione di una particella misurata in un sistema inerziale differisce da quella misurata in un sistema in rotazione per due termini, l'accelerazione di Coriolis e l'accelerazione centriguga. Nota la velocità di rotazione del sistema non inerziale rispetto a quello inerziale si può riscrivere la seconda legge di Newton (valida in quello inerziale) anche in termini delle quantità misurate nel sistema in rotazione. Il prezzo che si paga è quello di dover aggiungere alle forze vere, dovute all'interazione della particella con gli altri corpi, anche le due forze fittizie, quella di Coriolis e quella centrifuga.

Esempi di forza centrifuga
Abbiamo cosiderato alcuni semplici esperimenti eseguiti su una piattaforma rotante. Una massa viene fissata all'asse di rotazione tramite una molla. La lunghezza della molla dipende dalla velocità angolare di rotazione della piattaforma. Nel sistema inerziale la relazione si ricava imponendo che la massa esegua un moto circolare uniforme e che la molla eserciti una forza tale da produrre l'accelerazione centripeta necessaria. Nel sistema in rotazione, invece, la massa è ferma e l'equilibrio viene dal fatto che la molla produce una forza uguale e contraria alla forza centrifuga. Abbiamo poi visto il caso analogo di un pendolo (o una giostra), in cui il filo a cui è appesa la massa forma un certo angolo rispetto alla verticale, angolo che dipende dalla velocità angolare di rotazione della piattaforma (o della giostra).

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Effetti della rotazione terreste
Una corpo fermo rispetto alla superficie terreste, se visto nel sistema solidale con la terra che ruota, è soggetto alla forza peso che punta verso il centro della terra e alla forza centrifuga che è perpendicolare all'asse di rotazione. La reazione vincolare necessaria a tenerlo fermo, dunque, dovrà essere uguale e opposta alla somma vettoriale delle prime due forze e, quindi, sara' diretta lungo una nuova "verticale" che non punta verso il centro della terra. La deviazione della "verticale" rispetto al raggio terrestre è nulla all'equatore e ai poli ed è massima a 45 gradi di latitudine. Abbiamo discusso le conseguenze di questo fatto. Abbiamo visto che la terra ha la forma di un ellissoide di rotazione. Abbiamo anche visto che l'accelerazione di gravità misurata (con bilancie, pendoli, caduta libera, ecc.) cambia con la latitudine, essendo minima all'equatore e massima ai poli.

La stazione spaziale di "2001 Odissea nello spazio"
In una stazione spaziale fatta a "ruota di bicicletta" in rotazione un astronauta risente di una forza centrifuga che può simulare la gravità. Abbiamo visto però che oggetti in movimento nella stazione spaziale risentono anche della forza di Coriolis. Tale forza produce effetti sgradevoli, dal punto di vista della gravità simulata: il "peso" (forza esercitata contro la parete che fa da pavimento) dipende dalla direzione del moto; un corpo che "cade" sente una forza laterale che gli fa percorrere una traiettoria curvilinea, e così via. Abbiamo visto come questi fenomeni si spiegano facilmente considerando il moto di una biglia che si muove su una piattaforma rotante. Ad esempio, un moto uniforme nel sistema inerziale, si traduce in un moto a spirale nel sistema in rotazione. Il moto a spirale, nel sistema in rotazione, si ottiene come effetto combinato della forza centrifuga, radiale, e della forza di Coriolis, perpendicolare alla velocità della biglia.

Pendolo di Foucault e cicloni
Abbiamo considerato il caso di un pendolo al polo nord. Il piano di oscillazione è fisso rispetto al sistema inerziale delle stelle fisse ed è visto ruotare dal sistema solidale con la terra che ruota. Una rotazione simile si osserva a tutte le latitudini, tranne all'equatore, con periodo di rotazione che dipende dalla latitudine stessa. Misure di questo tipo sono state fatte a Parigi da Foucault a metà dell'800 e sono servite a dimostrare la rotazione della terra rispetto alle stelle fisse, con misure locali e non astronomiche. Un altro effetto visibile delle forze fittizie sulla terra è il moto delle masse atmosferiche su grande scala. Abbiamo visto che la forza di Coriolis induce rotazioni in senso anti-orario (cicloniche) nel caso di masse d'aria che convergono verso zone di bassa pressione nell'emisfero boreale e in senso orario per masse d'aria che divergono da zone di alta pressione (anti-cicloni). La rotazione è di verso opposto nell'emisfero australe.

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Lavoro di una forza
Abbiamo definito il lavoro come integrale del prodotto scalare della forza che agisce su un corpo per lo spostamento infinitesimo effettuato dal corpo stesso lungo una data traiettoria. Abbiamo visto il caso particolare del moto unidimensionale e quello di una forza costante. Il lavoro può essere positivo o negativo. Il lavoro è nullo se la forza è perpendicolare alla traiettoria. Il lavoro ha le dimensioni di massa per lunghezza al quadrato diviso per il tempo al quadrato. L'unità di lavoro è chiamata joule (J). Si definisce la potenza come il lavoro per unità di tempo. La potenza si misura in watt, pari a J/sec.

Energia cinetica e teorema delle forze vive
Il calcolo del lavoro svolto dalla risultante delle forze che agiscono su un corpo che si muove lungo una traiettoria può essere fatto utilizzando la seconda legge di Newton. In questo modo si mostra che il lavoro fatto dal punto A al punto B è uguale alla differenza dei valori assunti dalla quantità (1/2)mv² in B e A. La quantità (1/2)mv² si chiama energia cinetica e il risultato ottenuto si chiama teorema delle forze vive.

Campi di forze
Abbiamo detto cos'è un campo di forze e abbiamo visto alcuni esempi (forza elastica, gravità, gravitazione universale).

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Forze conservative
Un campo di forze è conservativo se le forze dipendono solo dalla posizione e se il lavoro fatto lungo un percorso tra due punti A e B non dipende dal percorso, ma solo dai punti A e B. In tal caso abbiamo visto che si può definire un'energia potenziale in modo che il lavoro fatto dalla forza conservativa tra A e B è uguale all'energia potenziale in A meno quella in B. Sommando l'energia potenziale di una particella alla sua energia cinetica e usando il teorema delle forze vive si ottiene una quantità che si conserva: l'energia meccanica totale. In presenza di forze non conservative l'energia meccanica invece non si conserva.

Energia potenziale elastica
Abbiamo considerato il caso della forza elastica, proporzionale alla distanza da un punto. Un semplice calcolo mostra che l'energia potenziale associata a tale forza è proporzionale alla distanza al quadrato. Il moto di una particella in un potenziale quadratico è un moto armonico attorno alla posizione di equilibrio. Negli estremi dell'oscillazione l'energia potenziale è massima e l'energia cinetica è nulla, mentre nel passaggio dalla posizione di equilibrio l'energia potenziale è nulla e l'energia cinetica è massima. Abbiamo visto che la soluzione del problema del moto (la legge oraria) può essere ottenuta ricorrendo alla conservazione dell'energia meccanica anziché alla seconda legge di Newton. Abbiamo anche visto che la forza in funzione della posizione è uguale a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto alla posizione.

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Energia potenziale associata alla forza peso
Abbiamo considerato il caso della forza peso in prossimità della superficie terrestre. La forza è costante ed è anche conservativa. Si può definire un'energia potenziale proporzionale alla quota misurata rispetto ad una quota di riferimento. La forza peso è uguale a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto alla quota. Abbiamo usato la conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità di un corpo che cade da una certa altezza; abbiamo visto che, in assenza di attriti, tale velocità non dipende dal percorso di caduta (es.: dall'inclinazione del piano su cui scivola).

Energia potenziale per un pendolo
Abbiamo scritto l'energia potenziale di un pendolo in funzione dell'angolo rispetto alla verticale e abbiamo discusso cosa succede se l'energia meccanica totale E è maggiore o minore dell'energia potenziale massima. Abbiamo visto che per piccole oscillazioni attorno al minimo di energia potenziale, l'energia meccanica ha la stessa forma quadratica dell'energia di un oscillatore soggetto alla forza elastica. Dall'analogia si ricava anche l'espressione del periodo di oscillazione.

Forze centrali
Un campo di forze è centrale se la direzione delle forze è radiale rispetto ad un punto assegnato (sorgente del campo) e se il modulo della forza dipende solo dalla distanza da quel punto. Abbiamo dimostrato che se una forza è centrale allora è anche conservativa.

Energia potenziale gravitazionale
Abbiamo considerato l'interazione gravitazionale tra una massa M (sorgente) e una massa m. Dato che la forza gravitazionale esercitata da M su m è centrale, essa è anche conservativa. Abbiamo definito come energia potenziale gravitazionale della massa m nel campo generato dalla massa M come il lavoro che si deve fare per portare la massa m dall'infinito fino ad una distanza relativa r, lavoro fatto contro la forza del campo gravitazionale. L'energia potenziale così calcolata risulta essere -GmM/r. La forza gravitazionale risulta anche essere pari a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto alla distanza r.

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Linee di forza e superfici equipotenziali
Abbiamo visto come si può rappresentare un campo di forze in tre dimensioni, tramite le linee di forza e le superfici equipotenziali.

Momento angolare e momento delle forze
Abbiamo definito il momento angolare di una particella e il momento delle forze che agiscono su una particella. Usando la II legge di Newton abbiamo dimostrato che la derivata temporale del momento angolare di una particella è uguale al momento delle forze agenti sulla stessa particella. Nel caso di forze centrali il momento delle forze è nullo e quindi il momento angolare si conserva.

Il problema di Keplero (prima parte)
Abbiamo impostato il problema del moto di una particella di massa m soggetta al campo gravitazionale di una massa M fissa. Il problema sarebbe risolvibile a partire dall'equazione del moto (II legge di Newton). Cerchiamo invece la soluzione a partire dalle leggi di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare. Abbiamo visto dapprima che la conservazione del momento angolare ha come diretta implicazione la II legge di Keplero (nelle loro orbite ellittiche i pianeti spazzano aree uguali in tempi uguali). Un'altra implicazione è che il moto della particella si mantiene su un piano passante per la massa M e individuato dai vettori posizione e velocità iniziali. Abbiamo poi scritto l'energia meccanica separando la parte cinetica in due contributi, l'uno corrispondente all'energia cinetica del moto radiale e l'altro a quella del moto angolare. Grazie alla conservazione del momento angolare, la parte angolare dell'energia cinetica può essere riscritta come L²/(2mr²). In questo modo l'energia meccanica può essere vista come la somma di un'energia cinetica radiale più un'energia potenziale efficace, somma di L²/(2mr²) e dell'energia potenziale gravitazione -GmM/r.

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Il problema di Keplero (seconda parte)
A partire dall'espressione dell'energia meccanica abbiamo discusso qualitativamente i moti possibili di una particella di massa m nel campo gravitazionale di una massa M fissa. A seconda dell'energia e del momento angolare si ottengono traiettorie legate (distanza compresa tra un valore minimo e un valore massimo) o libere (distanza che può diventare infinita). A parità di momento angolare l'energia meccanica minima ammessa è quella che compete ad un moto circolare uniforme. Abbiamo visto che l'energia cinetica associata al moto angolare può essere anche intesa come energia potenziale centrifuga, associata alla forza centrifuga che si dovrebbe aggiungere se si studiasse il moto nel sistema di riferimento che ruota assieme alla massa m attorno a M. Sempre a partire dalle leggi di conservazione abbiamo poi ricavato l'espressione generale per le traiettorie possibili. Tale espressione coincide con l'equazione parametrica delle sezioni coniche: cerchio, ellisse, parabola, iperbole. La traiettoria della massa m è una di queste curve, scelta a seconda delle condizioni iniziali, cioè la posizione e la velocità della particella o, equivalentemente, l'energia e il momento angolare. In sintesi, le leggi (empiriche) di Keplero risultano essere dedotte dai principi della meccanica newtoniana integrati dalla definizione di forza gravitazionale. Esse rappresentano un caso particolare di moti spiegabili con le leggi di Newton.

Esercizio
Un proiettile viene lanciato in orbita dalla superficie di un pianeta con una certa velocità iniziale. Abbiamo calcolato il valore minimo della velocità necessario per lanciare il proiettile in un'orbita libera. Usando la conservazione dell'energia abbiamo visto che tale "velocità di fuga" è indipendente dalla massa del proiettile e dipende solo dalla massa e dal raggio del pianeta. Abbiamo discusso il ruolo della velocità di fuga nel lancio dei satelliti artificiali, nella stabilità dell'atmosfera gassosa attorno ai pianeti, e nell'esistenza di buchi neri.

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Il problema a due corpi
Se due particelle interagiscono soltanto tra loro, la dinamica del moto relativo è descritta da un'equazione del moto per una singola particella avente massa ridotta. Abbiamo definito la massa ridotta e discusso qualche esempio (terra-luna, molla con due masse).

Centro di massa di un sistema di particelle
Abbiamo definito la massa totale e la quantità di moto totale di un sistema di particelle. Abbiamo definito il centro di massa del sistema, la sua velocità e la sua accelerazione. Come esempio abbiamo calcolato la posizione del centro di massa del sistema terra-luna. Usando la seconda e la terza legge di Newton per ciascuna particella e distinguendo le forze esterne ed interne al sistema, abbiamo visto che la variazione di quantità di moto totale (prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa) è uguale alla risultante delle sole forze esterne. Una conseguenza molto importante è che un sistema su cui non agiscano forze esterne (sistema isolato) conserva la sua quantità di moto totale.

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Il moto del centro di massa
Abbiamo discusso qualitativamente alcuni esempi di moto del centro di massa: il sistema terra-luna che ruota attorno al sole, un martello lanciato nel campo di gravità, e i fuochi d'artificio. Come esempi di conservazione della quantità di moto di sistemi isolati abbiamo discusso il rinculo di una pistola nello sparo, il moto di due pattinatori su una lastra di ghiaccio che si spingono per allontanarsi oppure si scontrano, e il meccanismo di spinta di un razzo tramite l'espulsione di gas.

Il sistema di riferimento del centro di massa
Nel caso di sistemi isolati conviene descrivere il moto delle particelle utilizzando il sistema di riferimento inerziale avente il centro di massa come origine. La quantità di moto totale del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM è nulla. Abbiamo visto in dettaglio il caso particolare di due particelle.

Momento angolare di un sistema di particelle
Il momento angolare totale di un sistema di particelle è la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ciascuna particella, calcolati rispetto ad uno stesso punto arbitrariamento scelto. Abbiamo mostrato che la derivata temporale del momento angolare del sistema è uguale alla somma dei momenti delle sole forze esterne che agiscono sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso punto. Nel caso in cui il momento delle forze esterne sia nullo, il momento angolare totale si conserva. Abbiamo visto l'esempio della formazione del sistema solare per contrazione di una nube di gas.

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Momento angolare di un sistema di particelle (seconda parte)
Abbiamo visto altri esempi di conservazione del momento angolare: la scimmia, le banane e la carrucola, l'astronauta con l'avvitatore elettrico, la pattinatrice, la stella di neutroni. Nel caso generale abbiamo visto che il momento angolare calcolato rispetto ad un generico punto O è uguale alla somma del momento angolare calcolato rispetto al centro di massa (momento angolare intrinseco) e del momento angolare orbitale associato al moto del centro di massa rispetto al punto O.

Energia meccanica di un sistema di particelle
L'energia cinetica del sistema è la somma delle energie cinetiche delle particelle che lo compongono. Usando la legge di composizione delle velocità si dimostra che l'energia cinetica è la somma dell'energia cinetica delle particelle misurata nel sistema del centro di massa e dell'energia cinetica di una particella di massa pari alla massa totale del sistema e che si muove con la velocità del CM stesso. Questo risultato è noto come teorema di König. La variazione dell'energia cinetica totale del sistema è uguale al lavoro totale compiuto dalle forze agenti sulle particelle. Se le forze interne sono conservative, possiamo definire un'energia potenziale del sistema, funzione delle distanze relative tra le particelle, in modo che la variazione dell'energia propria del sistema (energia cinetica + energia potenziale) risulta uguale al lavoro delle sole forze esterne Se il sistema è isolato, la velocità del CM è costante e il lavoro delle forze esterne è nullo. In tal caso l'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica (interna) e dell'energia potenziale (interna) si conserva.

Esercizio suggerito: es. 5.3 a pag. 152 di Dalba-Fornasini.

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Esercizio
Urto elastico di due masse in una dimensione, l'una inizialmente ferma e l'altra in moto con velocità assegnata. L'energia cinetica totale si conserva per definizione di urto elastico. La quantità di moto totale si conserva perchè il sistema è isolato. Le due leggi di conservazione permettono di ricavare l'espressione delle velocità finali in funzione della velocità iniziale e delle masse. Nel caso in cui una massa è molto più grande dell'altra si ottiene un semplice rimbalzo dell'altra, come in un urto contro un muro. Nel caso di massa uguali, quella inizialmente in moto si ferma e l'altra si mette in moto con la stessa velocità. Abbiamo visto che il centro di massa si muove di moto uniforme, senza risentire dell'urto. Abbiamo scritto le velocità iniziali e finali delle due masse nel sistema di riferimento del CM. Abbiamo visto il caso di più urti consecutivi di masse uguali e l'esempio del pendolo di Newton. Abbiamo accennato a cosa succede se gli urti sono anelastici.

Esercizio
Una biglia cade da ferma da un'altezza iniziale h e rimbalza sul pavimento in modo che l'energia cinetica nell'urto è pari a (1-f) volte quella iniziale, con f positivo e minore di 1. Abbiamo calcolato qual'è la quota raggiunta dalla biglia dopo l'n-esimo rimbalzo e abbiamo calcolato il tempo necessario a fermarsi.

Esercizio suggerito: due biglie di massa uguale si trovano su un piano orizzontale liscio, una ferma e l'altra in moto con velocità iniziale assegnata. Le due biglie si urtano con un urto elastico. Discutere l'applicazione delle leggi di conservazione e dimostrare che dopo l'urto l'angolo compreso tra le due traiettorie finali è di 90 gradi.

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Dinamica dei corpi rigidi
Un corpo rigido è un sistema di particelle in cui le distanze relative sono costanti nel tempo. Un corpo rigido può traslare e/o ruotare. I gradi di libertà sono 3 per la traslazione e 3 per la rotazione (due per individuare l'asse istantaneo di rotazione più uno per l'angolo di rotazione attorno all'asse stesso).

Lastra piana
Abbiamo calcolato l'energia cinetica e il momento angolare di una lastra rigida sottile che ruota attorno ad un asse ortogonale ad essa. Abbiamo visto come si può scomporre la velocità di ciascun punto della lastra nella somma della velocità di traslazione di un suo punto A, scelto arbitrariamente, più la velocità di rotazione attorno ad A. Abbiamo mostrato che la velocità angolare che entra in questa decomposizione non dipende dalla scelta di A. Abbiamo visto che l'energia cinetica ha la forma (1/2)I omega², dove I è detto momento d'inerzia. Il momento angolare della piastra è direttamente proporzionale a omega e la costante di proporzionalità è il momento d'inerzia. Abbiamo visto qual'è la relazione tra il momento d'inerzia calcolato rispetto ad un punto A generico e quello calcolato rispetto al centro di massa della piastra.

Corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso
Abbiamo calcolato il momento angolare di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse fisso. Abbiamo visto che il momento angolare in generale ha una componente lungo l'asse di rotazione, pari al prodotto di omega e del momento d'inerzia rispetto a quell'asse, e una componente perpendicolare all'asse di rotazione. Abbiamo visto l'esempio di un bilanciere costituito da due masse uguali agli estremi di un'asta rigida di massa trascurabile. Abbiamo calcolato il momento angolare nel caso in cui il bilanciere ruota attorno ad un asse perpendicolare all'asta e passante per il centro di massa e nel caso in cui ruota attorno ad un asse generico, non perpendicolare all'asta.

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Assi principali d'inerzia
Ogni corpo ammette almeno tre assi indipendenti, detti assi principali d'inerzia, aventi la seguente proprietà: quando un corpo rigido ruota con velocità angolare omega attorno ad un suo asse principale d'inerzia il momento angolare del corpo è parallelo al vettore omega, essendo entrambi orientati lungo l'asse di rotazione. La costante di proporzionalità è il momento d'inerzia associato a quell'asse. Nel caso del bilanciere qualsiasi asse di rotazione perpendicolare all'asta che collega le masse è un asse principale d'inerzia. Ogni corpo ammette almeno tre assi principali d'inerzia. Per mantenere in rotazione il corpo a velocità angolare costante attorno ad un asse principale d'inerzia non serve alcun momento di forze esterne. Al contrario, se l'asse di rotazione non e' uno degli assi principali d'inerzia, come nel caso del bilanciere inclinato, allora il momento angolare ha componenti fuori asse che variano nel tempo e che richiedono un momento delle forze esterne. La relazione generale tra momento angolare e velocità angolare, intesi come vettori, è di tipo "tensoriale": il momento angolare si ottiene applicando al vettore omega un operatore tensoriale, detto "tensore d'inerzia".

Energia cinetica e teorema di Steiner
Abbiamo calcolato l'energia cinetica di un corpo rigido che ruota con velocità angolare omega attorno ad un asse passante per un punto generico O. Usando il teorema di König, abbiamo visto che essa può essere espressa come la somma di due termini: i) l'energia cinetica di rotazione, con la stessa omega, attorno ad un asse passante per il centro di massa e parallelo al primo; ii) l'energia cinetica di una particella di massa M pari alla massa totale del corpo e che ruota attorno all'asse passante per 0. In termini di momento d'inerzia, questo implica che il momento d'inerzia può essere scritto come la somma del momento d'inerzia riferito all'asse passante per il CM più il prodotto di M per il quadrato della distanza del CM dall'asse passante per O. Questo risultato è noto come teorema di Steiner.

Equazione del moto
Traslazione e rotazione di un corpo rigido obbediscono alle leggi della dinamica dei sistemi di particelle: il centro di massa si muove come una particella di massa M soggetta alla risultante delle forze esterne e la derivata temporale del momento angolare totale del sistema è uguale alla risultante dei momenti delle forze esterne agenti sul sistema. Per i corpi rigidi è però possibile formulare le stesse equazioni in modo più semplice. Se la rotazione avviene attorno ad assi principali d'inerzia, ad esempio, la variazione del momento angolare nel tempo può essere scritta come il prodotto del momento d'inerzia per l'accelerazione angolare, ottenendo un'equazione del moto per l'angolo in funzione del tempo analoga all'equazione del moto per la traslazione, F=ma, dove F è sostituito con il momento delle forze esterne e m dal momento d'inerzia. Un'equazione simile può essere scritta anche nel caso di rotazione attorno ad un asse qualsiasi, ma solo per le componenti dei vettori lungo quell'asse. Se il momento delle forze esterne è nullo il momento angolare si conserva. Abbiamo descritto cosa succede nel caso di una pattinatrice che ruota su se stessa allargando e stringendo le braccia.

Pendolo fisico
Abbiamo scritto l'equazione del moto per un corpo rigido appeso nel campo di gravità in un punto diverso dal CM. Abbiamo visto che il corpo compie oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio, che coincide con la posizione in cui il CM si trova sulla verticale passante per il perno. Per piccole oscillazioni l'equazione del moto ha soluzioni armoniche con periodo che dipende dal momento d'inerzia.

Il momento d'inerzia di un righello
Abbiamo eseguito il seguente esperimento. Abbiamo preso un righello da 60 cm, provvisto di un foro in prossimità di un estremo, e l'abbiamo fatto oscillare come un pendolo. Abbiamo preso anche uno yo-yo, srotolato e fatto oscillare come un pendolo. Abbiamo aggiustato la lunghezza della corda dello yo-yo fino ad ottenere un'oscillazione avente lo stesso periodo di quella del righello, e abbiamo misurato la lunghezza della corda così ottenuta. Usando le espressioni per il periodo di un pendolo semplice e di un pendolo fisico, ed eguagliandole, abbiamo dedotto che il momento d'inerzia del righello è, a meno degli errori sperimentali, 1/3 del prodotto della massa del righello per il quadrato della sua lunghezza. Abbiamo verificato che questo risultato coincide con il valore del momento d'inerzia ottenuto eseguendo il calcolo esplicito a partire dalla definizione.

Esercizi (caldamente) suggeriti: Es. 6.4 a pag.201 e Es. 6.6 a pag.207 di Dalba-Fornasini.

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Energia del pendolo
Abbiamo visto come si scrive l'energia meccanica di un pendolo fisico, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. L'equazione del moto del pendolo può essere ottenuta imponendo la conservazione dell'energia.

Pendolo di torsione
Un filo sottoposto a torsione tende a ritornare nella sua configurazione di equilibrio. Se al filo è appeso un corpo rigido, la rotazione viene trasmessa al corpo stesso tramite un momento di forze. Se il momento è proporzionale all'angolo di torsione, allora si ha un "pendolo di torsione". Abbiamo scritto l'equazione del moto (armonica) e calcolato l'energia meccanica in funzione dell'angolo di torsione.

Esempi di momenti d'inerzia
Abbiamo calcolato il momento d'inerzia per vari corpi rigidi: asta (rispetto ad un estremo e rispetto al CM), anello, disco, cilindro e sfera. Abbiamo considerato anche il caso di una porta rettangolare che ruota attorno ad un suo lato. Abbiamo sottolineato l'analogia tra il momento d'inerzia e la massa, che esprimono l'inerzia di un corpo rispettivamente per le rotazioni e le traslazioni.

Rotolamento di un corpo rigido
Abbiamo considerato una sfera o un cilindro che scendono rotolando lungo un piano inclinato. Abbiamo scritto le equazioni per la traslazione del CM e la rotazione rispetto al CM. Abbiamo aggiunto la condizione di puro rotolamento (accelerazione del CM uguale al raggio volte l'accelerazione angolare di rotazione). Combinando le tre equazioni si ottiene il valore della forza d'attrito (volvente) e l'accelerazione, entrambi dipendenti dal momento d'inerzia. Abbiamo visto che, rotolando sullo stesso piano, una sfera ha un'accelerazione maggiore rispetto ad un cilindro. Abbiamo visto come si può interpretare questo effetto in termini di conservazione dell'energia meccanica (l'attrito volvente non compie lavoro): l'energia potenziale si trasforma in parte in energia cinetica di traslazione e in parte in energia cinetica di rotazione. Nel caso particolare in cui l'inclinazione è di 90 gradi (caduta verticale), la condizione di rotolamento puro rappresenta il comportamento di uno yo-yo. Abbiamo calcolato l'accelerazione di caduta dello yo-yo nel caso in cui la corda si avvolga sulla parete esterna del disco, oppure su un cilindro interno di raggio minore. Nel caso dello yo-yo, inoltre, abbiamo discusso la non-conservazione della quantità di moto e la conservazione del momento angolare nell'urto a fine corsa.

Statica dei corpi rigidi
Un corpo rigido inizialmente in quiete si mantiene in quiete se la risultante delle forze esterne è nulla e se la somma dei momento delle forze esterne è nulla. Queste due equazioni esprimono le condizione per la statica di una corpo rigido generico. Abbiamo visto l'esempio dell'equilibrio di una trave orizzontale appoggiata su due perni ai suoi estremi.

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Esercizi di statica
Condizioni di equilibrio per una trave orizzontale appoggiata su due perni, con un uomo in piedi sulla trave stessa. Equilibrio di una scala appoggiata ad un muro. Angolo minimo in funzione del coefficiente di attrito statico nel punto di appoggio inferiore, in assenza di attrito nel punto di appoggio superiore. Considerazioni sulle leve.

Giroscopi e trottole
Abbiamo visto cos'è un giroscopio. Abbiamo discusso il comportamento di una trottola. Abbiamo parlato di precessione e di nutazione.

Oscillatori
Abbiamo riscritto l'equazione del moto per una particella soggetta ad una forza elastica. Abbiamo poi considerato il caso di un oscillatore soggetto ad una forza di attrito proporzionale alla velocità (oscillatore smorzato). Abbiamo visto che, per piccolo smorzamento, le soluzioni dell'equazione del moto sono funzioni sinusoidali con ampiezza che decresce esponenzialmente nel tempo. Abbiamo fatto un cenno anche al caso di smorzamento critico e di moto sovrasmorzato. Infine abbiamo scritto l'equazione del moto per un oscillatore sottoposto ad una forza esterna periodica.

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Oscillatore forzato e smorzato. Risonanza.
Abbiamo ricavato la soluzione dell'equazione del moto di un oscillatore forzato e smorzato, come somma di una soluzione transiente e una soluzione periodica avente la stessa frequenza della forzante. L'ampiezza dell'oscillazione e lo sfasamento rispetto alla forzante dipendono dalla frequenza di quest'ultima in modo interessante: si ottiene un massimo di ampiezza quando la frequenza della forzante è prossima alla frequenza propria dell'oscillatore, cioè quella che avrebbe in assenza di forzante e di smorzamento. Questo effetto si chiama risonanza. Alla risonanza lo sfasamento è di 90 gradi, in modo che la forzante si trova in fase con la velocità dell'oscillatore. Abbiamo visto che in tale situazione, la potenza trasmessa all'oscillatore è massima. Abbiamo definito il fattore di qualità Q dell'oscillatore. Infine, abbiamo accennato alle molte applicazioni del concetto di risonanza.

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