Introduzione al corso.
Obiettivi e contenuti del corso. Obiettivi generali
della scienza.
Il metodo scientifico.
Leggi, principi, teorie.
Il ruolo dell'osservazione quantitativa.
L'errore sperimentale. L'estensione e la generalizzazione delle
teorie. I numeri, la logica e il linguaggio matematico. Il
perché e il come di un fenomeno. Le congetture e la
sensata esperienza: l'esempio di Galileo.
L'esempio di Keplero e le misure dell'orbita di Marte.
Il tempo.
Idea intuitiva di tempo. Fenomeni regolari e periodici.
Orologi. Il tempo è la grandezza fisica che si
misura tramite orologi. Campioni di tempo e unità di
misura: il secondo. L'omogeneità del tempo.
Ancora sul tempo.
Il problema della sincronizzazione egli orologi.
Lo spazio.
Idea intuitiva di spazio. La misura delle distanze tramite
aste graduate. Campioni e unità di misura: il metro.
L'omogeneità e l'isotropia dello spazio. Le coordinate
spaziali e la terna di assi orientati. I sistemi di riferimento.
Il punto materiale e la sua posizione nello spazio: vettori.
Alcune considerazioni su spazio e tempo.
La definizione operativa delle grandezze fisiche. Spazio e
tempo come grandezze continue, tradotte in numeri reali per
mezzo delle operazioni di misura. La scelta della geometria
euclidea per rappresentare lo spazio fisico.
Vettori.
Rette orientate, versori, vettori.
Modulo di un vettore. Prodotto di un vettore
per uno scalare. Opposto di un vettore. Somma di vettori con la
regola del parallelogrammo. Differenza di vettori. Decomposizione
di un vettore secondo le componenti in direzioni assegnate.
Coordinate ortogonali cartesiane. Vettori come n-ple di numeri.
Prodotto scalare di vettori.
Ripasso di trigonometria.
(1 ora facoltativa) Misura di angoli. Cerchio goniometrico.
Definizioni di seno, coseno, tangente, cotangente.
Posizione, spostamento, traiettoria
Moto di un punto materiale (particella) nello spazio. Misure
di posizione in un sistema di riferimento assegnato. Spostamento
e traiettoria.
Velocità
Idea intuitiva di velocità. Definizione di velocità
media come rapporto tra spostamento e intervallo di tempo.
Definizione di velocità istantanea come derivata prima
della posizione rispetto al tempo. Calcolo dello spostamento
come integrale della velocità nel tempo. Unità di
misura della velocità.
Accelerazione
Idea intuitiva di accelerazione. Definizione di accelerazione
media come rapporto tra incremento di velocità e
intervallo di tempo. Definizione di accelerazione istantanea
come derivata prima della velocità rispetto al tempo.
Unità di misura dell'accelerazione.
Cinematica: moto uniforme e moto uniformemente accelerato in 1D
Moto in una dimensione. Caso particolare del moto con
accelerazione costante. Relazioni tra tempo, spazio,
velocità e accelerazione. Grafici velocità-tempo
e interpretazione grafica degli integrali.
Caso particolare del moto con accelerazione nulla (velocità
costante), detto moto uniforme.
Esercizi
Abbiamo considerato la caduta di un corpo soggetto
all'accelerazione di gravità costante, calcolando la
relazione tra spazio percorso e tempo, il tempo di caduta da
una quota assegnata e la velocità al termine della
caduta stessa. Poi abbiamo considerato il caso di un atleta
che effettua i 100 metri piani, con una fase di accelerazione
costante e una fase di moto uniforme.
Moto uniformemente accelerato in 3D
Moto in tre dimensioni. Nel caso di accelerazione costante la
traiettoria è confinata al piano individuato
dalla velocità iniziale e dall'accelerazione. Il
moto può essere visto come composizione di
moti indipendenti lungo direzioni assegnate. Questo
è vero in generale e corrisponde ad una assunzione
di partenza (un principio) nella descrizione fisica
del movimento.
Moto di un corpo soggetto alla gravità
Come esempio di moto ad accelerazione costante abbiamo
esaminato il caso di un corpo soggetto alla gravità,
scrivendo le leggi orarie e calcolando la traiettoria,
il tempo di volo e la gittata.
Esercizio
Moto in 1D: due corpi lanciati verticalmente e
soggetti all'accelerazione di gravità. Stesso
lancio ma in tempi diversi. Calcolo della quota d'incontro.
Grafici della velocità e della quota nel tempo. (Esercizio
3.2 di Dalba-Fornasini) [Si consiglia di svolgere anche gli
esercizi 3.1 e 3.3 dello stesso testo].
Moto curvilineo in 3D
Nel descrivere
il moto si possono decomporre i vettori velocità
e accelerazione secondo direzioni
opportune. Nel seguire un punto materiale lungo una traiettoria
conviene spesso utilizzare la "rappresentazione intrinseca", che
corrisponde a scegliere due versori, uno diretto come la tangente
alla traiettoria, punto per punto, e l'altro ortogonale al
primo. Abbiamo visto come si scrive la velocità usando
tale rappresentazione e abbiamo definito la velocità
scalare. Abbiamo anche scritto
l'accelerazione nella stessa rappresentazione,
definendo l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione
centripeta.
Moto circolare uniforme
Come caso particolare di moto su traiettoria curvilinea
abbiamo visto il moto su una traiettoria
circolare di raggio R, con velocità tangenziale costante.
Abbiamo definito la velocità angolare, il periodo e
la frequenza.
Esercizio
Assegnata la distanza media terra-luna, abbiamo stimato la
velocità (tangenziale) di rotazione della luna attorno
alla terra, la velocità angolare e l'accelerazione
centripeta.
Ripasso di trigonometria
(1 ora facoltativa) Uso di funzioni goniometriche per
risolvere problemi trigonometrici.
Esercizio
Abbiamo scritto le leggi orarie del moto circolare
uniforme in coordinate cartesiane ortogonali. Abbiamo
calcolato le componenti della velocità e dell'accelerazione
in funzione del tempo, confrontandole con le espressioni in
coordinate intrinseche.
Esercizio
Abbiamo considerato la rotazione della terra sul
suo asse, con periodo di 1 giorno. Abbiamo calcolato
la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta
di un punto generico sulla superficie, in funzione della
latitudine e nel caso particolare della nostra latitudine.
Abbiamo commentato il fatto che nella vita quotidiana
non abbiamo la percezione né della velocità
nella dell'accelerazione associate alla rotazione del
pianeta.
Accelerazione angolare
Abbiamo definito l'accelerazione angolare e abbiamo
visto quali sono le relazioni tra angolo, velocità
angolare e accelerazione angolare, analoghe a quelle
per la posizione, la velocità e l'accelerazione
nel moto unidimensionale.
Esercizio
Un volano varia la sua velocità
angolare da 20 a 30 rad/s in 5 minuti con
accelerazione costante. Abbiamo calcolato
l'accelerazione e l'angolo totale descritto nella
rotazione.
Inerzia
L'idea intuitiva d'inerzia. Gli enunciati di Galileo e di Newton.
Il concetto di particella libera. Moto libero e equivalenza
di quiete e moto uniforme. Relatività del moto. Sistemi
inerziali e non-inerziali.
Massa e quantità di moto
Un corpo modifica il suo stato di moto (rispetto al moto libero)
per effetto dell'azione esercitata dagli altri corpi. La risposta
del corpo all'azione degli altri è quantificabile tramite
la massa del corpo. Procedure operative per misurare la massa
(inerziale) tramite misure di variazione di velocità. La
quantità di moto è il prodotto della massa per la
velocità di un corpo.
Forza e seconda legge di Newton
Variazione di quantità di moto in intervalli di
tempo piccoli. Concetto di forza come rappresentazione quantitativa
(vettoriale) dell'azione degli altri corpi su un corpo dato. La
seconda legge di Newton.
Alcuni commenti sulla II legge di Newton
La II legge non è una definizione di forza. I vari tipi
di forza andranno introdotti indipendentemente, a seconda dei
fenomeni studiati. Nel caso di corpi di massa costante
la II legge diventa la famosa F=ma. Definizione di impulso.
Il determinismo.
Altri commenti sulla II legge di Newton
Il linguaggio
matematico naturale per la dinamica è quello
del calcolo infinitesimale e delle equazioni differenziali.
Nel caso in cui la forza che agisce su un corpo sia nulla, la
II legge dice che il moto del corpo è uniforme, consistentemente
con la I legge (principio d'inerzia). Abbiamo ragionato sul fatto che
comunque le due leggi contengono informazioni diverse sulla
natura del moto dei corpi. La I legge è indispensabile
per definire i sistemi di riferimento entro i quali la
II legge è valida.
Il principio di azione e reazione e la conservazione della
quantità di moto
Ogni volta che un corpo A esercita una forza su un corpo B, il
corpo B esercita su A una forza uguale e opposta. Per due
corpi che interagiscono solo tra loro, la precedente affermazione
implica la conservazione della quantità di moto totale,
somma vettoriale delle quantità di moto dei due corpi.
Abbiamo legato questo fatto all'assunzione che lo spazio
sia omogeneo.
Forze costanti e forza peso
Se inseriamo nella II legge di Newton una forza costante
otteniamo un moto uniformemente accelerato. Un esempio di
moto uniformemente accelerato osservabile in natura è il
moto di caduta dei corpi in prossimità della superficie
terrestre. La causa di tale moto è l'attrazione che
la terra esercita su tutti i corpi. Tale attrazione la chiamiamo
forza peso. Osserviamo sperimentalmente che l'accelerazione
di gravità è la stessa per tutti corpi,
indipendente dalla loro massa. Questo implica, sulla base
della II legge di Newton, che la forza peso è
proporzionale alla massa dei corpi su cui agisce.
Derivate di funzioni di una variabile
(1 ora facoltativa)
Definizione di derivata. Esempi di derivate di funzioni semplici.
Alcune proprietà delle derivate.
Forza elastica e moto armonico
Alcuni materiali hanno la capacità di deformarsi in
modo tale che per deformarli richiedono una forza esterna
proporzionale alla deformazione. Abbiamo considerato una
massa attaccata ad una molla e abbiamo definito la forza
elastica (F=-kx). La II legge di Newton applicata al moto
della massa soggetta alla forza della molla si trasforma in
un'equazione differenziale la cui soluzione è armonica.
Sovrapposizione di forze: peso e forza elastica
Abbiamo considerato una massa attaccata ad una molla in
direzione verticale. Sulla massa agiscono contemporaneamente
la forza peso e la forza elastica. Le forze si sommano
vettorialmente (principo di sovrapposizione). La forza
risultante entra nella II legge di Newton e determina
il moto. In questo caso il moto è ancora armonico
ma rispetto ad una nuova posizione di equilibrio. La
nuova posizione di equilibrio si trova imponendo che
il peso e la forza elastica siano uguali in modulo e
di verso opposto. La misura dell'allungamento della molla
all'equilibrio può essere usata come misura della
massa del corpo appeso.
Piano inclinato
Reazioni vincolari. Massa appoggiata ad un piano inclinato
liscio. Abbiamo calcolo l'accelerazione in funzione dell'angolo
di inclinazione. Quale forza si deve aggiungere per tenere in
equilibrio la
massa? Problema di equilibrio statico: si deve annullare la
risultante delle forze. Problema equivalente: equilibrio di
due masse collegate da un filo inestensibile, una
sul piano inclinato e l'altra appesa in posizione verticale.
La catena di Stevino. Differenza tra leggi statiche (no tempo)
e leggi dinamiche (tempo).
Macchina di Atwood
Abbiamo parlato di tensioni di fili, funi, corde. Abbiamo
visto l'esempio della macchina di Atwood:
due masse appese ai due lati di una carrucola di massa trascurabile,
tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile. Calcolo
dell'accelerazione delle due masse e della tensione del filo.
Pendolo
Massa appesa ad un filo inestensibile. Oscillazioni
rispetto alla posizione di equilibrio, verticale.
Equazione del moto del pendolo semplice. Approssimazione
di piccoli angoli e calcolo del periodo di oscillazione
(si consiglia di vedere la pagina di
HyperPhysics dedicata al pendolo semplice).
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Derivate e integrali.
(1 ora facoltativa) Derivate di alcune funzioni semplici.
Derivata di funzione di funzione. Esempi di funzioni continue
ma non derivabili. Integrale indefinito. Esempi di integrazione
a vista.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Pendolo
Abbiamo ripreso il discorso sul pendolo. Abbiamo
Usando soltanto argomenti di analisi dimensionale abbiamo
dimostrato che il periodo delel piccole oscillazioni
deve essere proporzionale alla radice quadrata del rapporto tra
la lunghezza del filo e l'accelerazione di gravità.
Abbiamo calcolato la tensione del filo in funzione della
velocità.
Moto di un corpo immerso in un fluido: attrito viscoso
Definizione di attrito viscoso, proporzionale alla velocità.
Coefficiente di resistenza viscosa e coefficiente di viscosità.
Equazione del moto per un corpo che cade in un fluido.
Velocità limite.
Soluzione analitica dell'equazione del moto per un corpo che
cade in un fluido. Andamenti asintotici della velocità.
Moto di un paracadutista, prima e dopo l'apertura del
paracadute.
Attrito radente
Corpo che scivola su una superficie ruvida. Definizione di forza di
attrito radente. Coefficiente di attrito radente (dinamico).
Moto di un corpo su un piano inclinato scabro. Accelerazione in
funzione dell'angolo. Coefficiente di attrito statico. Angoli
critici.
Gravitazione
Legge di attrazione gravitazionale. Abbiamo visto come Newton ha
derivato l'espressione della forza di attrazione tra due masse
qualsiasi a partire dalle conoscenze precedenti sui moti
planetari e sulla caduta dei gravi e utilizzando i principi
della dinamica. Abbiamo visto come si può predire
l'accelerazione di gravità g noto il raggio
della terra, la distanza terra-luna e il periodo di rotazione
della luna attorno alla terra. La gravitazione è una delle
interazioni fondamentali in natura.
Relatività galileiana
L'inerzia e la relatività del moto. I sistemi di
riferimento inerziali. La posizione di un punto materiale
misurata in due sistemi di
riferimento diversi, inerziali. Le leggi di trasformazione
di Galileo per le coordinate spaziali e il tempo.
L'invarianza
delle distanze. La composizione delle velocità.
L'invarianza dell'accelerazione. L'invarianza delle leggi
della dinamica. Il principio di relatività in
questa forma: sulla base di esperimenti di meccanica condotti
esclusivamente all'interno di un sistema di riferimento
inerziale è del tutto impossibile distinguere se quel
sistema è in quiete o in moto rettilineo uniforme.
Sistemi di riferimento accelerati e forze fittizie
La seconda legge di Newton è valida in sistemi di riferimento
inerziali. Per poterla usare anche in sistemi di riferimento
accelerati occorre conoscere l'accelerazione di trascinamento
del sistema rispetto ad un sistema inerziale; l'effetto dell'accelerazione
di trascinamento può essere tradotto in una forza fittizia
da inserire nell'equazione del moto in aggiunta alle forze reali.
Abbiamo trattato il caso di sistemi in moto rettilineo accelerato.
Sistemi di riferimento accelerati e principio di equivalenza
Abbiamo discusso l'esempio di esperimenti condotti in un
ascensore (calcolo della tensione del filo di un pendolo in
funzione dell'accelerazione dell'ascensore) incluso il caso limite
della caduta libera ("assenza di gravità"). Abbiamo parlato
del principio di equivalenza: un'accelerazione costante del sistema di
riferimento in una certa direzione è equivalente ad un campo di
gravità uniforme in direzione opposta. Tale principio
è strettamente connesso all'eguaglianza della massa inerziale
e gravitazionale.
Prodotto vettoriale
Definizione di prodotto scalare e di prodotto vettoriale di due
vettori. Prodotto vettoriale dei versori cartesiani. Prodotto
vettoriale espresso in termini delle componenti dei vettori.
Integrali di funzioni di una variabile
(1 ora facoltativa)
Metodi per il calcolo degli integrali.
Esempi di integrazione.
Prodotto vettoriale e rotazioni
Prodotto vettoriale e rotazioni: il vettore velocità
angolare.
Sistemi di riferimento in rotazione
Un sistema di riferimento S' ruota rispetto ad un sistema
inerziale S con velocità angolare costante. La velocità
di una particella che si muove nello spazio è diversa
se misurata in S o in S'. La differenza viene dalla dipendenza
temporale dei versori di S' visti da S e può essere
espressa come prodotto vettoriale della velocità angolare
omega per il vettore posizione r'.
L'accelerazione di una particella misurata in un sistema inerziale
differisce da quella misurata in un sistema in rotazione per due
termini, l'accelerazione di Coriolis e l'accelerazione centrifuga.
Nota la velocità di rotazione del sistema non inerziale
rispetto a quello inerziale si può riscrivere la
seconda legge di Newton (valida in quello inerziale) anche in
termini delle quantità misurate nel sistema in rotazione.
Il prezzo che si paga è quello di dover aggiungere alle forze
vere, dovute all'interazione della particella con gli altri corpi,
anche le due forze fittizie, quella di Coriolis e quella centrifuga.
Esempi di forza centrifuga
Abbiamo l'esempio di una massa in ferma su una piattaforma
rotante, tenuta legata all'asse di rotazione tramite un filo
o una molla.
Nel sistema di riferimento inerziale la massa è vista
muoversi di moto circolare uniforme e la tensione del filo
è tale da produrre l'accelerazione centripeta
necessaria a mantenerla in rotazione. Nel sistema di riferimento
che ruota solidale con la piattaforma la massa è in
quiete e la tensione del filo equilibra la forza centrifuga.
il risultato è lo stesso. Abbiamo visto anche il caso
di una giostra. In tal caso il filo a cui è appesa la
massa forma un certo angolo rispetto alla verticale, angolo
che dipende dalla velocità
angolare di rotazione della giostra, ma non dalla massa
appesa.
Forza centrifuga e rotazione terreste
Abbiamo stimato l'effetto della forza centrifuga su corpi
all'equilibrio sulla superficie terrestre. Abbiamo anche
visto che l'accelerazione di gravità misurata (con
bilancie, pendoli, caduta libera, ecc.) cambia
con la latitudine, essendo minima all'equatore e
massima ai poli. Inoltre, la reazione vincolare necessaria
a tenere un corpo fermo sulla
superficie terrestre deve essere uguale e opposta
alla somma vettoriale della forza gravitazionale e della
forza centrifuga e, quindi, sara' diretta
lungo una nuova "verticale" che non punta verso il centro della
terra. La deviazione della "verticale" rispetto al raggio
terrestre è nulla all'equatore e ai poli ed è
massima a 45 gradi di latitudine.
Abbiamo discusso le conseguenze di questo fatto. Abbiamo
visto che la terra ha la forma di un ellissoide di rotazione.
Forza di Coriolis
Abbiamo visto qual è l'effetto della forza di
Coriolis su una particella che si muove in un sistema di
riferimento in rotazione. Abbiamo trattato l'esempio di
una particella che scivola sopra una piattaforma rotante.
Abbiamo accennato al pendolo di Faucault.
La "gravità artificiale" in un'astronave rotante
In una stazione spaziale fatta a "ruota di bicicletta" in
rotazione un astronauta risente di una forza centrifuga che
può simulare la gravità. Abbiamo visto però
che oggetti in movimento nella stazione spaziale risentono
anche della forza di Coriolis. Tale forza produce effetti
sgradevoli, dal punto di vista della gravità simulata:
il "peso" (forza esercitata contro la parete che fa da
pavimento) dipende dalla direzione del moto; un corpo che
"cade" sente una forza laterale che gli fa percorrere una
traiettoria curvilinea, e così via. Abbiamo visto come
questi fenomeni si spiegano facilmente considerando il moto
di una massa che si muove su una piattaforma rotante; ad esempio,
un moto uniforme nel sistema inerziale, si
traduce in un moto a spirale nel sistema in rotazione (spirale
di Archimede). Abbiamo accennato anche all'effetto della
forza di Coriolis sulla terra: la circolazione ciclonica
e anticiclonica.
Lavoro di una forza
Abbiamo definito il lavoro come integrale del prodotto
scalare della forza che agisce su un corpo per lo spostamento
infinitesimo effettuato dal corpo stesso lungo una data
traiettoria. Abbiamo visto il caso particolare del moto
unidimensionale e quello di una forza costante. Il lavoro
può essere positivo o negativo. Il lavoro è
nullo se la forza è perpendicolare alla traiettoria.
Il lavoro ha le dimensioni di massa per lunghezza al quadrato
diviso per il tempo al quadrato. L'unità di lavoro è
chiamata joule (J). Si definisce la potenza come il lavoro
per unità di tempo. La potenza si misura in watt,
pari a J/sec.
Energia cinetica e teorema delle forze vive
Il calcolo del lavoro svolto dalla risultante delle
forze che agiscono su un corpo che si muove lungo una
traiettoria può essere eseguito utilizzando la
seconda legge di Newton. In questo modo si mostra che
il lavoro fatto dal punto A al punto B è uguale
alla differenza dei valori assunti dalla quantità
(1/2)mv2 in B e A. La quantità
(1/2)mv2 si chiama energia cinetica e la
relazione appena scritta è nota come "teorema delle
forze vive".
Campi di forze
Abbiamo detto cos'è un campo di forze.
I campi possono essere
rappresentati graficamente da linee di forza.
Forze conservative e energia potenziale
Un campo di forze è conservativo se le forze dipendono
solo dalla posizione e se il lavoro fatto lungo un percorso tra
due punti generici A e B non dipende dal percorso, ma solo dai punti
A e B. In tal caso abbiamo visto che si può definire
un'energia potenziale in modo che il lavoro fatto dalla
forza conservativa tra A e B è uguale all'energia
potenziale in A meno quella in B.
Energia meccanica
Sommando l'energia
potenziale di una particella alla sua energia cinetica e
usando il teorema delle forze vive si ottiene una
quantità che, in presenza di sole forze
conservative, rimane costante nel tempo: l'energia meccanica.
Energia potenziale elastica
Abbiamo considerato il caso della forza elastica, proporzionale
alla distanza da un punto. Un semplice calcolo mostra che
l'energia potenziale associata a tale forza è proporzionale
alla distanza al quadrato. Il moto di una particella in un
potenziale quadratico è un moto armonico attorno alla
posizione di equilibrio.
Abbiamo discusso il diagramma dell'energia potenziale e
cinetica in
funzione della posizione. Negli estremi dell'oscillazione l'energia
potenziale è massima e l'energia cinetica è
nulla, mentre nel passaggio dalla posizione di equilibrio
l'energia potenziale è nulla e l'energia cinetica
è massima. Abbiamo visto che la soluzione del problema
del moto (la legge oraria) può essere ottenuta
ricorrendo alla conservazione dell'energia meccanica anziché
alla seconda legge di Newton. Abbiamo anche visto che la forza
in funzione della posizione è uguale a meno
la derivata dell'energia potenziale rispetto alla posizione.
Energia potenziale associata alla forza peso
Abbiamo considerato il caso della forza peso in prossimità
della superficie terrestre. La forza è costante ed è
anche conservativa. Si può definire un'energia potenziale
proporzionale alla quota misurata rispetto ad una quota di
riferimento.
La forza peso è uguale a meno la derivata
dell'energia potenziale rispetto alla quota. Abbiamo usato la
conservazione dell'energia meccanica per calcolare la
velocità di un corpo che cade da una certa altezza;
abbiamo visto che, in assenza di attriti, tale velocità
non dipende dal percorso di caduta (es.: dall'inclinazione
del piano su cui scivola). Energia potenziale vista come
il lavoro fatto da forze che agiscono "contro" le forze
del campo conservativo nel portare una massa un punto
A (inizialmente ferma) a un punto B (in cui si arresta).
Energia potenziale per un pendolo
Abbiamo scritto l'energia potenziale di un pendolo in funzione
dell'angolo rispetto alla verticale e abbiamo discusso cosa
succede se l'energia meccanica totale E è maggiore o
minore dell'energia potenziale massima. Abbiamo visto che
per piccole oscillazioni attorno al minimo di energia potenziale,
l'energia meccanica ha la stessa forma quadratica dell'energia
di un oscillatore soggetto alla forza elastica. Dall'analogia
si ricava anche l'espressione del periodo di oscillazione.
Energia potenziale gravitazionale
Abbiamo considerato l'interazione gravitazionale tra una massa
M (sorgente) e una massa m. Dato che la forza gravitazionale
esercitata da M su m è centrale, essa è anche
conservativa. Abbiamo discusso la scelta del punto di riferimento
per il calcolo dell'energia potenziale, che conviene porre
a distanza infinita dalla sorgente. In tal caso l'energia
potenziale gravitazionale risulta essere -GmM/r.
Campo gravitazionale di sorgenti estese
Abbiamo calcolato esplicitamente l'energia potenziale di una
particella di massa m che si trova all'esterno di una
distribuzione di massa isotropa di raggio R e massa M.
Abbiamo dimostrato che l'energia potenziale è la
stessa che si otterrebbe mettendo tutta la massa M nel centro.
Abbiamo accennato anche al calcolo dell'energia potenziale
nel caso in cui la massa m sia dentro la sorgente estesa.
Nell'ipotesi che la terra abbia densità uniforme
al suo interno, abbiamo visto cosa succede facendo cadere
un sasso in un ipotetico pozzo che la attraversi da polo
a polo. Il tempo impiegato a ritornare al punto di partenza
risulta uguale al periodo di rotazione in un'orbita circolare
attorno alla terra, a partire dallo stesso punto (trascurando
gli attriti).
Momento angolare
Abbiamo definito il momento angolare di una particella e
discusso il suo significato.
Usando la
II legge di Newton abbiamo dimostrato che la derivata temporale
del momento angolare di una particella è uguale al
momento delle forze agenti sulla stessa particella.
Moto in un campo di forze centrali
Abbiamo mostrato che nel caso di
forze centrali il momento delle forze calcolato rispetto alla
sorgente del campo è sempre nullo e quindi
il momento angolare si conserva. Inoltre si conserva
anche l'energia meccanica. Abbiamo visto quali sono le
implicazioni di queste conservazioni (moto planare in un piano
fisso, velocità areale costante, relazione tra
velocità angolare e moemnto angolare, energia
potenziale efficace).
Il problema di Keplero
Abbiamo impostato il problema del moto di una particella di
massa m soggetta al campo gravitazionale di una massa M fissa.
Il problema sarebbe risolvibile a partire dall'equazione del moto
(II legge di Newton). Abbiamo invece ottenuto la soluzione
usando le leggi di conservazione dell'energia meccanica e
del momento angolare.
Le traiettorie possibili sono date
dall'equazione parametrica delle sezioni coniche.
Integrali definiti, equazioni differenziali
(1 ora facoltativa)
Relazione tra integrali indefiniti e integrali definiti.
Cenni alla teoria delle equazioni differenziali.
Il problema di Keplero
La traiettoria della massa m
è una delle sezioni coniche, scelta a seconda delle condizioni
iniziali, cioè la posizione e la velocità della
particella o, equivalentemente, l'energia e il momento angolare.
Abbiamo discusso qualitativamente i vari tipi di orbita
a partire dall'espressione dell'energia meccanica. A
seconda dell'energia e del momento angolare si ottengono
traiettorie legate (distanza compresa tra un valore minimo e
un valore massimo) o libere (distanza che può diventare
infinita).
A parità di momento angolare l'energia meccanica minima
ammessa è quella che compete ad un moto circolare uniforme.
Abbiamo fatto un commento generale sul
carattere predittivo di una teoria fisica e sulla differenza tra
leggi empiriche (Keplero) e leggi derivate da principi (Newton).
Velocità di fuga
Un proiettile viene lanciato in orbita dalla superficie di
un pianeta con una certa velocità iniziale. Abbiamo
calcolato il valore minimo della velocità necessario
per lanciare il proiettile in un'orbita libera. Usando la
conservazione dell'energia abbiamo visto che tale "velocità
di fuga" è indipendente dalla massa del proiettile e
dipende solo dalla massa e dal raggio del pianeta. Abbiamo
accennato ai buchi neri.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Il problema a due corpi
Se due particelle interagiscono soltanto tra loro, la dinamica del moto
relativo è descritta da un'equazione del moto per una singola particella
avente massa ridotta. Abbiamo definito la massa ridotta e discusso qualche
esempio (terra-luna, due masse con molla).
Abbiamo anche definito la massa totale, la quantità di moto totale e la
posizione del centro di massa del sistema. Usando la seconda e la terza legge
di Newton per ciascuna particella e distinguendo le forze esterne ed interne al
sistema, abbiamo visto che la variazione di quantità di moto totale (prodotto
della massa totale per la velocità del centro di massa) è uguale alla
risultante delle sole forze esterne. Una conseguenza molto importante è che un
sistema su cui non agiscano forze esterne (sistema isolato) conserva la sua
quantità di moto totale.
Urti
Abbiamo dato una definizione qualitativa di urti e di forze
impulsive.
Esercizi
(1 ora facoltativa con Alessio Recati)
Urti
Abbiamo discusso le leggi di conservazione per
la quantità di moto e l'energia cinetica.
Abbiamo trattato il caso di un urto frontale elastico tra due
masse m1 e m2 su un orizzontale liscio. Calcolo delle velocità finali
nell'ipotesi che una delle due sia inizialmente ferma.
Caso limite di una massa molto maggiore dell'altra (analogo
ad un urto contro un muro). Caso di due masse uguali. Caso
di molte masse uguali che urtano in sequenza (pendolo di Newton).
Urto visto nel sistema di riferimento del centro di massa.
Esercizio
Pallina che rimbalza sul pavimento perdendo una frazione di
energia cinetica ad ogni urto. Calcolo del tempo di arresto.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Esercizio
Urto di due masse uguali su un piano orizzontale liscio. Abbiamo
visto che le direzione del moto dopo l'urto formano una angolo
retto.
Esercizio
Urto perfettamente anelastico. Pendolo balistico. Rinculo.
Sistemi di N particelle
Abbiamo definito il centro di massa e la quantità di
moto totale di un sistema di N particelle. L'accelerazione
del centro di massa è determinata solo dalle forze
esterne.
Nel caso di sistemi isolati conviene descrivere il moto delle
particelle utilizzando il sistema di riferimento inerziale
avente il centro di massa come origine. La quantità di
moto totale del sistema di particelle misurata nel sistema
di riferimento del CM è nulla.
Momento angolare di un sistema di particelle
Il momento angolare totale di un sistema di particelle è
la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ciascuna
particella, calcolati rispetto ad uno stesso punto
arbitrariamento scelto. Abbiamo mostrato che la derivata
temporale del momento angolare del sistema è uguale
alla somma dei momenti delle sole forze esterne che agiscono
sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso
punto. Nel caso in cui il momento delle forze esterne sia nullo,
il momento angolare totale si conserva. Abbiamo visto l'esempio
della formazione del sistema solare per contrazione di una
nube di gas.
Esercizi
(1 ora facoltativa con Alessio Recati)
Momento angolare di un sistema di particelle
Abbiamo mostrato che il momento angolare
calcolato rispetto ad un generico punto O è uguale
alla somma del momento angolare calcolato rispetto al centro
di massa (momento angolare intrinseco) e del momento angolare
orbitale associato al moto del centro di massa rispetto al
punto O.
Abbiamo visto che la legge che lega la derivata
temporale del momento angolare intrinseco al momento delle
forze esterne vale anche se il CM si muove di moto accelerato.
Abbiamo accennato al problema delle maree in un sistema di
N particelle in caduta libera o in orbita in un campo
gravitazionale non uniforme.
Energia cinetica di un sistema di particelle
L'energia cinetica del sistema è la somma delle energie
cinetiche delle particelle che lo compongono. Usando la legge
di composizione delle velocità si dimostra che l'energia
cinetica è la somma dell'energia cinetica delle particelle
misurata nel sistema del centro di massa e dell'energia cinetica
di una particella di massa pari alla massa totale del sistema
e che si muove con la velocità del CM stesso. Questo
risultato è noto come teorema di König.
Energia meccanica di un sistema di particelle
La variazione dell'energia cinetica totale del sistema è
uguale al lavoro totale compiuto dalle forze agenti sulle
particelle. Se le forze interne sono conservative, possiamo
definire un'energia potenziale del sistema, funzione delle
distanze relative tra le particelle, in modo che la
variazione dell'energia propria del sistema (energia cinetica +
energia potenziale) risulta uguale al lavoro delle sole forze
esterne. Se il sistema è isolato, la velocità del
CM è costante e il lavoro delle forze esterne è
nullo. In tal caso l'energia totale del sistema, somma dell'energia
cinetica (interna) e dell'energia potenziale (interna) si
conserva.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Dinamica dei corpi rigidi
Un corpo rigido è un sistema di particelle in cui
le distanze relative sono costanti nel tempo. Un corpo
rigido può traslare e/o ruotare. I gradi di
libertà sono 3 per la traslazione e 3 per
la rotazione (due per individuare l'asse istantaneo di
rotazione più uno per l'angolo di rotazione
attorno all'asse stesso).
Momento d'inerzia di una lastra piana
Abbiamo visto che l'energia cinetica
di una lastra rigida sottile che ruota attorno ad un asse
fisso e ortogonale ad essa ha la forma
(1/2)I omega2, dove I è detto momento
d'inerzia. Il momento angolare della stessa piastra è
dato dal prodotto di I per omega.
Momento d'inerzia di un corpo rigido qualsiasi
L'energia cinetica di un corpo che ruota attorno ad un asse
fisso ha ancora la forma (1/2)I omega2. Il momento
d'inerzia è la somma delle masse che compongono il
sistema ciascuna moltiplicata per il quadrato della distanza
dall'asse di rotazione. Abbiamo visto qual'è la
relazione tra il momento d'inerzia calcolato per rotazioni
attorno ad un asse passante per un punto generico O e quello
per rotazioni attorno ad un asse parallelo al primo e
passante per il CM (teorema di Steiner).
Abbiamo calcolato il momento d'inerzia per vari corpi
rigidi omogenei: asta (rispetto ad un estremo e rispetto al CM),
anello, disco, cilindro, sfera.
Abbiamo sottolineato l'analogia tra il momento d'inerzia
e la massa, che esprimono l'inerzia di un corpo rispettivamente
per le rotazioni e le traslazioni.
Esercizi
(1 ora con Alessio Recati)
Momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno
ad un asse fisso
Abbiamo visto che il momento angolare ha una componente
lungo l'asse di rotazione pari al prodotto di omega e del
momento d'inerzia rispetto a quell'asse, ma può avere anche
una componente perpendicolare all'asse di rotazione.
Assi principali d'inerzia
Ogni corpo ammette almeno tre assi indipendenti, detti
assi principali d'inerzia, aventi la seguente
proprietà: quando un corpo rigido ruota con
velocità angolare omega attorno ad un suo asse
principale d'inerzia il momento angolare del corpo è
parallelo al vettore omega, essendo entrambi orientati
lungo l'asse di rotazione. La costante di proporzionalità
è il momento d'inerzia associato a quell'asse. Nel caso
del bilanciere qualsiasi asse di rotazione perpendicolare
all'asta che collega le masse è un asse principale
d'inerzia.
Equazione del moto per la rotazione attorno ad un asse
fisso
La derivata temporale del momento angolare è uguale
alla somma dei momenti delle forze esterne. Scelto l'asse
z coincidente con l'asse di rotazione fisso, l'equazione
del moto si traduce in una equazione per la derivata
del prodotto del momento d'inerzia per la velocità
angolare, analoga alla II legge di Newton.
Pendolo di torsione
Un filo sottoposto a torsione tende a ritornare nella sua
configurazione di equilibrio. Se al filo è appeso un
corpo rigido, la rotazione viene trasmessa al corpo stesso
tramite un momento di forze. Se il momento è proporzionale
all'angolo di torsione, allora si ha un "pendolo di torsione".
Abbiamo discusso brevemente il pendolo di Cavendish.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Pendolo fisico
Abbiamo scritto l'equazione del moto per un corpo rigido
appeso nel campo di gravità in un punto diverso dal
CM. Abbiamo visto che il corpo compie oscillazioni attorno
alla posizione di equilibrio, che coincide con la posizione
in cui il CM si trova sulla verticale passante per il
perno. Per piccole oscillazioni l'equazione del moto ha i
soluzioni armoniche con periodo che dipende dal momento
d'inerzia.
Il momento d'inerzia di un righello
Abbiamo eseguito il seguente esperimento. Abbiamo preso un
righello da 60 cm, provvisto di un foro in prossimità
di un estremo, e l'abbiamo fatto oscillare come un pendolo.
Abbiamo preso anche uno yo-yo, srotolato e fatto oscillare
come un pendolo. Abbiamo aggiustato la lunghezza della corda
dello yo-yo fino ad ottenere un'oscillazione avente lo
stesso periodo di quella del righello, e abbiamo misurato
la lunghezza della corda così ottenuta, pari a 40 cm.
Il rapporto tra la lunghezza della corda e la lunghezza del
righello risulta essere circa 2/3 (entro l'errore sperimentale),
che corrisponde ad un un momento d'inerzia I= (1/3)ML2,
in accordo con il calcolo analitico del momento d'inerzia di
un'asta sottile omogenea che ruota attorno ad un suo estremo.
Rotolamento di un corpo rigido
Abbiamo considerato una sfera o un cilindro che scendono
rotolando lungo un piano inclinato. Abbiamo scritto le equazioni
per la traslazione del CM e la rotazione rispetto al CM. Abbiamo
aggiunto la condizione di puro rotolamento (accelerazione
del CM uguale al raggio volte l'accelerazione angolare di
rotazione). Combinando le tre equazioni si ottiene il valore
della forza d'attrito e l'accelerazione, entrambi
dipendenti dal momento d'inerzia. Abbiamo visto che, rotolando
sullo stesso piano, una sfera ha un'accelerazione maggiore
rispetto ad un cilindro.
Abbiamo considerato anche la conservazione dell'energia meccanica.
Nel caso del piano inclinato,
l'energia potenziale si trasforma in parte in energia cinetica
di traslazione e in parte in energia cinetica di rotazione.
Yo-Yo
Nel caso particolare in cui l'inclinazione è di 90
gradi (caduta verticale), la condizione di rotolamento puro
rappresenta il comportamento di uno yo-yo. Abbiamo calcolato
l'accelerazione di caduta dello yo-yo nel caso in cui la corda
si avvolga sulla parete esterna del disco, oppure su un
cilindro interno di raggio minore. Nel caso dello yo-yo, inoltre,
abbiamo discusso la non-conservazione della quantità
di moto e la conservazione del momento angolare nell'urto
a fine corsa.
Macchina di Atwood
Abbiamo rivisto la macchina di Atwood,
assegnando una massa anche alla carrucola. Abbiamo
calcolato l'accelerazione delle masse e le tensioni
della fune.
Statica dei corpi rigidi
Un corpo rigido inizialmente in quiete si mantiene in quiete se
la risultante delle forze esterne è nulla e se la somma
dei momento delle forze esterne è nulla. Queste due
equazioni esprimono le condizione per la statica di una corpo
rigido generico. Abbiamo visto alcuni esempi: trave orizzontale
appoggiata agli estremi; leva; scala appoggiata al muro.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Statica dei corpi rigidi
Statica della scala appoggiata al muro.
Urti con corpi rigidi
Abbiamo discusso le leggi di conservazione nel caso di urti di
particelle con corpi rigidi.
Urto elastico contro un'asta rigida vincolata nel CM.
Urto perfettamente anelastico contro
un'asta rigida vincolata ad un estremo.
Centro di percussione.
Giroscopio
Abbiamo visto cos'è un giroscopio. Abbiamo parlato di
precessione e di nutazione. Abbiamo calcolato la velocità
angolare di precessione nel caso di un giroscopio costituito da
un cilindro in rapida rotazione sul proprio asse e soggetto alla
forza di gravità.
Problemi vari
Abbiamo trattato alcune questioni rimaste in sospeso, come il
calcolo dell'energia potenziale gravitazionale dovuta ad una
sfera omogenea di massa M, in un punto interno ad essa (problema
del moto armonico in un tunnel rettilineo scavato nella sfera);
la derivazione dell'equazione del moto del pendolo fisico a partire
dalla conservazione dell'energia meccanica; il problema della
scimmia e il casco di banane; e altro.
Esercizi
(due ore con Alessio Recati)
Esercizio
Applicazione degli urti elastici tra particelle puntiformi:
moderazione di neutroni in reattori nucleari.
Trottola magnetica
Abbiamo visto e commentato il filmato
spinning magnet.
Esercizi
Problema di statica: trave orizzontale usata come ponte levatoio.
Problema su corpi rigidi: disco che ruota attorno all'asse
perpendicolare passante per il suo centro e
soggetto ad una forza elastica applicata ad una certa distanza
dal centro stesso.
Problema delle profezie Maya per il giorno dopo: stima del momento
angolare della terra e discussione sui possibili meccanismi per
variare o interrompere la rotazione terrestre.