Prof. Franco Dalfovo
Dipartimento di Fisica, Università di Trento
Corso di Fisica Generale I, primo modulo
A.A. 2016-17

Sintesi delle lezioni:

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Martedì 20 settembre 2016

Introduzione al corso.
Obiettivi e contenuti del corso. Obiettivi generali della scienza.

Il metodo scientifico.
Leggi, principi, teorie. Il ruolo dell'osservazione quantitativa. L'errore sperimentale. L'estensione e la generalizzazione delle teorie. I numeri, la logica e il linguaggio matematico. Il perché e il come di un fenomeno. Le congetture e la sensata esperienza: l'esempio di Galileo. L'esempio di Keplero e le misure dell'orbita di Marte.

Il tempo.
Idea intuitiva di tempo. Fenomeni regolari e periodici. Orologi. Il tempo è la grandezza fisica che si misura tramite orologi. Campioni di tempo e unità di misura: il secondo.

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Mercoledì 21 settembre 2016

Il tempo.
Altre considerazioni sulla definizione di tempo: contemporaneità, sincronizzazione. Il miglioramento progressivo dei campioni.

Lo spazio.
Idea intuitiva di spazio. La misura delle distanze tramite aste graduate. Campioni e unità di misura: il metro. L'omogeneità e l'isotropia dello spazio. Le coordinate spaziali e la terna di assi orientati. I sistemi di riferimento. Il punto materiale e la sua posizione nello spazio: vettori.

Alcune considerazioni su spazio e tempo.
La definizione operativa delle grandezze fisiche. Spazio e tempo come grandezze continue, tradotte in numeri reali per mezzo delle operazioni di misura. La scelta della geometria euclidea per rappresentare lo spazio fisico.

Vettori.
Rette orientate, versori, vettori. Modulo di un vettore. Prodotto di un vettore per uno scalare. Opposto di un vettore. Somma di vettori con la regola del parallelogrammo. Differenza di vettori. Decomposizione di un vettore secondo le componenti in direzioni assegnate. Coordinate ortogonali cartesiane. Vettori come n-ple di numeri. Prodotto scalare di vettori.

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Giovedì 22 settembre 2016

Posizione, spostamento, traiettoria
Moto di un punto materiale (particella) nello spazio. Misure di posizione in un sistema di riferimento assegnato. Spostamento e traiettoria.

Velocità
Idea intuitiva di velocità. Definizione di velocità media come rapporto tra spostamento e intervallo di tempo. Definizione di velocità istantanea come derivata prima della posizione rispetto al tempo. Calcolo dello spostamento come integrale della velocità nel tempo. Unità di misura della velocità.

Accelerazione
Idea intuitiva di accelerazione. Definizione di accelerazione media come rapporto tra incremento di velocità e intervallo di tempo. Definizione di accelerazione istantanea come derivata prima della velocità rispetto al tempo. Unità di misura dell'accelerazione.

Cinematica: moto uniforme e in 1D
Moto in una dimensione. Caso particolare del moto con accelerazione costante. Relazioni tra tempo, spazio, velocità e accelerazione. Caso particolare del moto con accelerazione nulla, detto moto uniforme.

Moto uniformemente accelerato in 1D
Caso particolare del moto con accelerazione costante, detto moto uniformemente accelerato.

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Venerdì 23 settembre 2016

Moto uniformemente accelerato in 3D
Moto in tre dimensioni. Nel caso di accelerazione costante la traiettoria è confinata al piano individuato dalla velocità iniziale e dall'accelerazione. Il moto può essere visto come composizione di moti indipendenti lungo direzioni assegnate. Questo è vero in generale e corrisponde ad una assunzione di partenza (un principio) nella descrizione fisica del movimento.

Moto di un corpo soggetto alla gravità
Come esempio di moto ad accelerazione costante abbiamo esaminato il caso di un corpo soggetto alla gravità, scrivendo le leggi orarie e calcolando la traiettoria, il tempo di volo e la gittata.

Esercizi
Abbiamo considerato la caduta di un corpo soggetto all'accelerazione di gravità costante, calcolando la relazione tra spazio percorso e tempo, il tempo di caduta da una quota assegnata e la velocità al termine della caduta stessa. Poi abbiamo considerato il caso di un atleta che effettua i 100 metri piani, con una fase di accelerazione costante e una fase di moto uniforme.

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Martedì 27 settembre 2016

Esercizio
Abbiamo svolto l'esercizio dei due corpi lanciati verticalmente e soggetti all'accelerazione di gravità. Calcolo della quota d'incontro e grafici della velocità e della quota nel tempo. (Esercizio 3.2 di Dalba-Fornasini) [Si consiglia di svolgere anche gli esercizi 3.1 e 3.3 dello stesso testo].

Moto curvilineo in 3D
Nel descrivere il moto si possono decomporre i vettori velocità e accelerazione secondo direzioni opportune. Nel seguire un punto materiale lungo una traiettoria conviene spesso utilizzare la "rappresentazione intrinseca", che corrisponde a scegliere due versori, uno diretto come la tangente alla traiettoria, punto per punto, e l'altro ortogonale al primo. Abbiamo visto come si scrive la velocità usando tale rappresentazione e abbiamo definito la velocità scalare. Abbiamo scritto l'accelerazione nella rappresentazione intrinseca, definendo l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta.

Moto circolare uniforme
Come caso particolare di moto su traiettoria curvilinea abbiamo visto il moto su una traiettoria circolare di raggio R, con velocità tangenziale costante. Abbiamo definito la velocità angolare, il periodo e la frequenza.

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Giovedì 29 settembre 2016

Esercizio
Assegnata la distanza media terra-luna, abbiamo stimato la velocità (tangenziale) di rotazione della luna attorno alla terra, la velocità angolare e l'accelerazione centripeta.

Esercizio
Abbiamo scritto le leggi orarie del moto circolare uniforme in coordinate cartesiane ortogonali. Abbiamo calcolato le componenti della velocità e dell'accelerazione in funzione del tempo, confrontandole con le espressioni in coordinate intrinseche.

Esercizio
Abbiamo considerato la rotazione della terra sul suo asse, con periodo di 1 giorno. Abbiamo calcolato la velocità tangenziale di un punto generico sulla superficie, in funzione della latitudine e nel caso particolare della nostra latitudine.

Accelerazione angolare
Abbiamo definito l'accelerazione angolare e abbiamo visto quali sono le relazioni tra angolo, velocità angolare e accelerazione angolare, analoghe a quelle per la posizione, la velocità e l'accelerazione nel moto unidimensionale.

Esercizio
Un volano aumenta la velocità angolare da 20 a 30 rad/s in 5 minuti. Abbiamo calcolato l'accelerazione angolare e il numero di giri compiuti.

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Venerdì 30 settembre 2016

Inerzia
L'idea intuitiva d'inerzia. Gli enunciati di Galileo e di Newton. Il concetto di particella libera. Moto libero e equivalenza di quiete e moto uniforme. Relatività del moto. Sistemi inerziali e non-inerziali.

Massa e quantità di moto
Un corpo modifica il suo stato di moto (rispetto al moto libero) per effetto dell'azione esercitata dagli altri corpi. La risposta del corpo all'azione degli altri è quantificabile tramite la massa del corpo. Procedure operative per misurare la massa (inerziale) tramite misure di variazione di velocità. La quantità di moto è il prodotto della massa per la velocità di un corpo.

Forza e seconda legge di Newton
Variazione di quantità di moto in intervalli di tempo piccoli. Concetto di forza come rappresentazione quantitativa (vettoriale) dell'azione degli altri corpi su un corpo dato. La seconda legge di Newton.

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Martedì 4 ottobre 2016

Alcuni commenti sulla II legge di Newton
La II legge non è una definizione di forza. I vari tipi di forza andranno introdotti indipendentemente, a seconda dei fenomeni studiati. Nel caso di corpi di massa costante la II legge diventa la famosa F=ma. Definizione di impulso. La II legge e il determinismo. Il linguaggio matematico naturale per la dinamica è quello del calcolo infinitesimale e delle equazioni differenziali. Nel caso in cui la forza che agisce su un corpo sia nulla, la II legge dice che il moto del corpo è uniforme, consistentemente con la I legge (principio d'inerzia). Abbiamo ragionato sul fatto che comunque le due leggi contengono informazioni diverse sulla natura del moto dei corpi. La I legge è indispensabile per definire i sistemi di riferimento entro i quali la II legge è valida.

Il principio di azione e reazione e la conservazione della quantità di moto
Ogni volta che un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita su A una forza uguale e opposta. Per due corpi che interagiscono solo tra loro, la precedente affermazione implica la conservazione della quantità di moto totale, somma vettoriale delle quantità di moto dei due corpi. Abbiamo legato questo fatto all'assunzione che lo spazio sia omogeneo.

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Mercoledì 5 ottobre 2016

Forze costanti e forza peso
Se inseriamo nella II legge di Newton una forza costante otteniamo un moto uniformemente accelerato. Un esempio di moto uniformemente accelerato osservabile in natura è il moto di caduta dei corpi in prossimità della superficie terrestre. La causa di tale moto è l'attrazione che la terra esercita su tutti i corpi. Tale attrazione la chiamiamo forza peso. Osserviamo sperimentalmente che l'accelerazione di gravità è la stessa per tutti corpi, indipendente dalla loro massa. Questo implica, sulla base della II legge di Newton, che la forza peso è proporzionale alla massa dei corpi su cui agisce.

Forza elastica e moto armonico
Alcuni materiali hanno la capacità di deformarsi in modo tale che per deformarli richiedono una forza esterna proporzionale alla deformazione. Abbiamo considerato una massa attaccata ad una molla e abbiamo definito la forza elastica (F=-kx). La II legge di Newton applicata al moto della massa soggetta alla forza della molla si trasforma in un'equazione differenziale la cui soluzione è armonica.

Sovrapposizione di forze: peso e forza elastica
Abbiamo considerato una massa attaccata ad una molla in direzione verticale. Sulla massa agiscono contemporaneamente la forza peso e la forza elastica. La nuova posizione di equilibrio si trova imponendo che il peso e la forza elastica siano uguali in modulo e di verso opposto. La misura dell'allungamento della molla all'equilibrio può essere usata come misura della massa del corpo appeso. Le forze si sommano vettorialmente (principo di sovrapposizione). La forza risultante entra nella II legge di Newton e determina il moto. In questo caso il moto è ancora armonico ma rispetto alla nuova posizione di equilibrio.

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Giovedì 6 ottobre 2016

Piano inclinato
Reazioni vincolari. Massa appoggiata ad un piano inclinato liscio. Abbiamo calcolo l'accelerazione in funzione dell'angolo di inclinazione. Quale forza si deve aggiungere per tenere in equilibrio la massa? Problema di equilibrio statico: si deve annullare la risultante delle forze. Problema equivalente: equilibrio di due masse collegate da un filo inestensibile, una sul piano inclinato e l'altra appesa in posizione verticale. La catena di Stevino. Differenza tra leggi statiche (no tempo) e leggi dinamiche (tempo).

Macchina di Atwood
Abbiamo parlato di tensioni di fili, funi, corde. Abbiamo visto l'esempio della macchina di Atwood: due masse appese ai due lati di una carrucola di massa trascurabile, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile. abbiamo calcolato l'accelerazione delle due masse e la tensione del filo.

Pendolo
Massa appesa ad un filo inestensibile. Oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio. Equazione del moto del pendolo semplice e approssimazione di piccoli angoli.

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Venerdì 7 ottobre 2016

Esercizio
Abbiamo ricalcolato l'accelerazione e la reazione vincolare nel moto di una particella su un piano inclinato senza attrito, ma usando un sistema di assi cartesiani diverso.

Esercizio
Sistema a due carrucole e due masse, con una carrucola mobile.

Pendolo
Usando soltanto argomenti di analisi dimensionale abbiamo dimostrato che il periodo delle piccole oscillazioni deve essere proporzionale alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del filo e l'accelerazione di gravità. Abbiamo calcolato la tensione del filo in funzione della velocità.

Moto di un corpo immerso in un fluido: attrito viscoso
Definizione di attrito viscoso, proporzionale alla velocità. Coefficiente di resistenza viscosa e coefficiente di viscosità. Equazione del moto per un corpo che cade in un fluido. Velocità limite. Soluzione dell'equazione del moto. Andamenti asintotici della velocità. Calcolo dello spazio percorso in funzione del tempo. Grafici. Moto di un paracadutista, prima e dopo l'apertura del paracadute.

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Martedì 11 ottobre 2016

Attrito radente
Corpo che scivola su una superficie ruvida. Definizione di forza di attrito radente. Coefficiente di attrito radente (dinamico). Moto di un corpo su un piano inclinato scabro. Accelerazione in funzione dell'angolo. Coefficiente di attrito statico. Angoli critici.

Esercizio
Problema di un corpo che scivola su un piano orizzontale scabro, partendo con una velocità v0 e fermandosi in uno spazio di frenata xf. Abbiamo calcolato il coefficiente di attrito dinamico.

Esercizio
Abbiamo considerato un'automobile che percorre una curva con profilo orizzontale o curvo e abbiamo discusso le condizioni per evitare lo sbandamento.

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Mercoledì 12 ottobre 2016

Esercizio
Abbiamo continuato l'esercizio dell'automobile in curva e abbiamo calcolato il profilo ottimale per una velocità angolare assegnata (curva parabolica).

Esercizio
Abbiamo determinato la relazione tra angolo e velocità angolare in un pendolo conico.

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Giovedì 13 ottobre 2016

Gravitazione
Legge di attrazione gravitazionale. Abbiamo visto come Newton ha derivato l'espressione della forza di attrazione tra due masse qualsiasi a partire dalle conoscenze precedenti sui moti planetari e sulla caduta dei gravi e utilizzando i principi della dinamica. Abbiamo visto come si può predire l'accelerazione di gravità g noto il raggio della terra, la distanza terra-luna e il periodo di rotazione della luna attorno alla terra. La gravitazione è una delle interazioni fondamentali in natura.

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Martedì 18 ottobre 2016

Relatività galileiana
L'inerzia e la relatività del moto. I sistemi di riferimento inerziali. La posizione di un punto materiale misurata in due sistemi di riferimento diversi, inerziali. Le leggi di trasformazione di Galileo per le coordinate spaziali e il tempo. L'invarianza delle distanze. La composizione delle velocità. L'invarianza dell'accelerazione. L'invarianza delle leggi della dinamica. Il principio di relatività in questa forma: sulla base di esperimenti di meccanica condotti esclusivamente all'interno di un sistema di riferimento inerziale è del tutto impossibile distinguere se quel sistema è in quiete o in moto rettilineo uniforme.

Sistemi di riferimento accelerati e forze fittizie
La seconda legge di Newton è valida in sistemi di riferimento inerziali. Per poterla usare anche in sistemi di riferimento accelerati occorre conoscere l'accelerazione di trascinamento del sistema rispetto ad un sistema inerziale; l'effetto dell'accelerazione di trascinamento può essere tradotto in una forza fittizia da inserire nell'equazione del moto in aggiunta alle forze reali. Abbiamo trattato il caso di sistemi in moto rettilineo accelerato.

Sistemi di riferimento accelerati e principio di equivalenza
Abbiamo discusso l'esempio di esperimenti condotti in un ascensore (calcolo della tensione del filo di un pendolo in funzione dell'accelerazione dell'ascensore) incluso il caso limite della caduta libera ("assenza di gravità"). Abbiamo parlato del principio di equivalenza: un'accelerazione costante del sistema di riferimento in una certa direzione è equivalente ad un campo di gravità uniforme in direzione opposta.

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Mercoledì 19 ottobre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

1) Corpo che cade da un tetto inclinato e raggiunge un edificio adiacente. Descrizione del moto.

2) Due masse su un cuneo accelerato connesse da una corda passante per una carrucola. Dinamica e posizioni di equilibrio.

3) Guida semicircolare che termina su un piano orizzontale con attrito dinamico. Determinazione della distanza di arresto.

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Giovedì 20 ottobre 2016

Principio di equivalenza
Abbiamo visto che il principio di equivalenza è strettamente connesso all'eguaglianza della massa inerziale e gravitazionale.

Prodotto vettoriale
Definizione di prodotto scalare e di prodotto vettoriale di due vettori. Prodotto vettoriale dei versori cartesiani. Prodotto vettoriale espresso in termini delle componenti dei vettori. Prodotto vettoriale e rotazioni: il vettore velocità angolare.

Sistemi di riferimento in rotazione
Un sistema di riferimento S' ruota rispetto ad un sistema inerziale S con velocità angolare costante. La velocità di una particella che si muove nello spazio è diversa se misurata in S o in S'. La differenza viene dalla dipendenza temporale dei versori di S' visti da S e può essere espressa come prodotto vettoriale della velocità angolare omega per il vettore posizione r'. L'accelerazione di una particella misurata in un sistema inerziale differisce da quella misurata in un sistema in rotazione per due termini, l'accelerazione di Coriolis e l'accelerazione centrifuga. Nota la velocità di rotazione del sistema non inerziale rispetto a quello inerziale si può riscrivere la seconda legge di Newton (valida in quello inerziale) anche in termini delle quantità misurate nel sistema in rotazione. Il prezzo che si paga è quello di dover aggiungere alle forze vere, dovute all'interazione della particella con gli altri corpi, anche le due forze fittizie, quella di Coriolis e quella centrifuga.

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Martedì 25 ottobre 2016

Sistemi di riferimento in rotazione
Abbiamo l'esempio di una massa in ferma su una piattaforma rotante, tenuta legata all'asse di rotazione tramite un filo o una molla. Nel sistema di riferimento inerziale la massa è vista muoversi di moto circolare uniforme e la tensione del filo è tale da produrre l'accelerazione centripeta necessaria a mantenerla in rotazione. Nel sistema di riferimento che ruota solidale con la piattaforma la massa è in quiete e la tensione del filo equilibra la forza centrifuga. il risultato è lo stesso. Abbiamo visto anche il caso di una giostra. In tal caso il filo a cui è appesa la massa forma un certo angolo rispetto alla verticale, angolo che dipende dalla velocità angolare di rotazione della giostra, ma non dalla massa appesa.

Forza centrifuga e rotazione terreste
Abbiamo stimato l'effetto della forza centrifuga su corpi all'equilibrio sulla superficie terrestre. Abbiamo anche visto che l'accelerazione di gravità misurata (con bilancie, pendoli, caduta libera, ecc.) cambia con la latitudine, essendo minima all'equatore e massima ai poli. Inoltre, la reazione vincolare necessaria a tenere un corpo fermo sulla superficie terrestre deve essere uguale e opposta alla somma vettoriale della forza gravitazionale e della forza centrifuga e, quindi, sarà diretta lungo una nuova "verticale" che non punta verso il centro della terra. La deviazione della "verticale" rispetto al raggio terrestre è nulla all'equatore e ai poli ed è massima a 45 gradi di latitudine. Abbiamo discusso le conseguenze di questo fatto. Abbiamo visto che la terra ha la forma di un ellissoide di rotazione.

Forza di Coriolis
Abbiamo visto qual è l'effetto della forza di Coriolis su una particella che si muove in un sistema di riferimento in rotazione. Abbiamo trattato l'esempio di una particella che scivola sopra una piattaforma rotante. Abbiamo accennato al pendolo di Faucault e alla circolazione atmosferica ciclonica e anticiclonica.

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Mercoledì 26 ottobre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

1) Chiodo che si stacca dal soffitto di un carrello con accelerazione costante o velocità costante. Descrizione della traiettoria nel sistema solidale al carrello e al terreno.

2) Massa su una guida lineare posta sul raggio di una piattaforma rotante sollevata da terra. Determinazione della distanza dall'asse all'impatto col suolo.

3) Oggetto che scivola su una calotta sferica con velocità iniziale al vertice. Calcolo dell'angolo di distacco e della distanza minima di arrivo al suolo.

4) Una particella si muove di moto elicoidale uniforme. Studio del moto e determinazione dei parametri caratteristici.

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Giovedì 27 ottobre 2016

La "gravità artificiale" in un'astronave rotante
In una stazione spaziale fatta a "ruota di bicicletta" in rotazione un astronauta risente di una forza centrifuga che può simulare la gravità. Abbiamo visto però che oggetti in movimento nella stazione spaziale risentono anche della forza di Coriolis: il "peso" (forza esercitata contro la parete che fa da pavimento) dipende dalla direzione del moto; un corpo che "cade" sente una forza laterale che gli fa percorrere una traiettoria curvilinea, e così via. Abbiamo visto come questi fenomeni si spiegano facilmente considerando il moto di una massa che si muove su una piattaforma rotante; ad esempio, un moto uniforme nel sistema inerziale, si traduce in un moto a spirale nel sistema in rotazione (spirale di Archimede).

Lavoro di una forza
Abbiamo definito il lavoro come integrale del prodotto scalare della forza che agisce su un corpo per lo spostamento infinitesimo effettuato dal corpo stesso lungo una data traiettoria. Abbiamo visto il caso particolare del moto unidimensionale e quello di una forza costante. Il lavoro può essere positivo o negativo. Il lavoro è nullo se la forza è perpendicolare alla traiettoria. Il lavoro ha le dimensioni di massa per lunghezza al quadrato diviso per il tempo al quadrato. L'unità di lavoro è chiamata joule (J). Si definisce la potenza come il lavoro per unità di tempo. La potenza si misura in watt, pari a J/sec.

Energia cinetica e teorema delle forze vive
Il calcolo del lavoro svolto dalla risultante delle forze che agiscono su un corpo che si muove lungo una traiettoria può essere eseguito utilizzando la seconda legge di Newton. In questo modo si mostra che il lavoro fatto dal punto A al punto B è uguale alla differenza dei valori assunti dalla quantità (1/2)mv2 in B e A. La quantità (1/2)mv2 si chiama energia cinetica e la relazione appena scritta è nota come "teorema delle forze vive".

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Mercoledì 2 novembre 2016

Campi di forze
Abbiamo detto cos'è un campo di forze. I campi possono essere rappresentati graficamente da linee di forza.

Forze conservative e energia potenziale
Un campo di forze è conservativo se le forze dipendono solo dalla posizione e se il lavoro fatto lungo un percorso tra due punti generici A e B non dipende dal percorso, ma solo dai punti A e B. In tal caso abbiamo visto che si può definire un'energia potenziale in modo che il lavoro fatto dalla forza conservativa tra A e B è uguale all'energia potenziale in A meno quella in B. Abbiamo visto gli esempi della forza peso, la forza elastica in 3D e la forza gravitazionale.

Energia meccanica
Sommando l'energia potenziale di una particella alla sua energia cinetica e usando il teorema delle forze vive si ottiene una quantità che, in presenza di sole forze conservative, rimane costante nel tempo: l'energia meccanica. Abbiamo visto che la soluzione del problema del moto (la legge oraria) può essere ottenuta ricorrendo alla conservazione dell'energia meccanica anziché alla seconda legge di Newton. Abbiamo anche visto che la forza in funzione della posizione è uguale a meno la derivata dell'energia potenziale rispetto alla posizione. L'energia potenziale può anche essere vista come il lavoro fatto da forze che agiscono "contro" le forze del campo conservativo nel portare una massa un punto A (inizialmente ferma) a un punto B (in cui si arresta).

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Giovedì 3 novembre 2016

Energia potenziale elastica
Abbiamo calcolato l'energia potenziale associata alla forza elastica. Abbiamo discusso il diagramma dell'energia potenziale e cinetica in funzione della posizione. Negli estremi dell'oscillazione l'energia potenziale è massima e l'energia cinetica è nulla, mentre nel passaggio dalla posizione di equilibrio l'energia potenziale è nulla e l'energia cinetica è massima.

Energia potenziale associata alla forza peso
Abbiamo calcolato l'energia potenziale associata forza peso in prossimità della superficie terrestre. Abbiamo usato la conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità di un corpo che cade da una certa altezza; abbiamo visto che, in assenza di attriti, tale velocità non dipende dal percorso di caduta (es.: dall'inclinazione del piano su cui scivola).

Energia potenziale per un pendolo
Abbiamo scritto l'energia potenziale di un pendolo in funzione dell'angolo rispetto alla verticale e abbiamo discusso cosa succede se l'energia meccanica totale E è maggiore o minore dell'energia potenziale massima. Abbiamo visto che per piccole oscillazioni attorno al minimo di energia potenziale, l'energia meccanica ha la stessa forma quadratica dell'energia di un oscillatore soggetto alla forza elastica. Dall'analogia si ricava anche l'espressione del periodo di oscillazione.

Energia potenziale gravitazionale
Abbiamo considerato l'interazione gravitazionale tra una massa M (sorgente) e una massa m. Dato che la forza gravitazionale esercitata da M su m è centrale, essa è anche conservativa. Abbiamo discusso la scelta del punto di riferimento per il calcolo dell'energia potenziale, che conviene porre a distanza infinita dalla sorgente. In tal caso l'energia potenziale gravitazionale risulta essere -GmM/r.

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Martedì 8 novembre 2016

Campo gravitazionale di sorgenti estese
Abbiamo calcolato esplicitamente l'energia potenziale di una particella di massa m che si trova all'esterno di una distribuzione di massa isotropa di raggio R e massa M. Abbiamo dimostrato che l'energia potenziale è la stessa che si otterrebbe mettendo tutta la massa M nel centro. Abbiamo accennato anche al calcolo dell'energia potenziale nel caso in cui la massa m sia dentro la sorgente estesa. Nell'ipotesi che la luna abbia densità uniforme al suo interno, abbiamo visto cosa succede facendo cadere un sasso in un ipotetico pozzo che la attraversi da polo a polo. Il tempo impiegato a ritornare al punto di partenza risulta uguale al periodo di rotazione in un'orbita circolare attorno alla luna, a partire dallo stesso punto.

Momento angolare
Abbiamo definito il momento angolare di una particella e discusso il suo significato. Usando la II legge di Newton abbiamo dimostrato che la derivata temporale del momento angolare di una particella è uguale al momento delle forze agenti sulla stessa particella.

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Mercoledì 9 novembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Oggetto lanciato fino al vertice di un piano inclinato comprimendo una molla alla base. Stima della compressione minima necessaria in assenza e in presenza di attrito dinamico sul piano.

Un corpo vincolato su una guida rettilinea orizzontale e connesso ad una molla con un estremo fisso. Determinazione delle posizioni di equilibrio, della loro stabilità e della frequenza per piccole oscillazioni al variare della lunghezza a riposo della molla.

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Giovedì 10 novembre 2016

Moto in un campo di forze centrali
Abbiamo mostrato che nel caso di forze centrali il momento delle forze calcolato rispetto alla sorgente del campo è sempre nullo e quindi il momento angolare si conserva. Inoltre si conserva anche l'energia meccanica. Abbiamo visto quali sono alcune implicazioni di queste conservazioni (moto planare in un piano fisso, velocità areale costante, relazione tra velocità angolare e momento angolare).

Il problema di Keplero
Abbiamo impostato il problema del moto di una particella di massa m soggetta al campo gravitazionale di una massa M fissa. Il problema sarebbe risolvibile a partire dall'equazione del moto (II legge di Newton). Abbiamo invece ottenuto la soluzione usando le leggi di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare. Le traiettorie possibili sono date dall'equazione parametrica delle sezioni coniche. La traiettoria della massa m è una delle sezioni coniche, scelta a seconda delle condizioni iniziali, cioè la posizione e la velocità della particella o, equivalentemente, l'energia e il momento angolare. Abbiamo discusso qualitativamente i vari tipi di orbita a partire dall'espressione dell'energia meccanica. A seconda dell'energia e del momento angolare si ottengono traiettorie legate (distanza compresa tra un valore minimo e un valore massimo) o libere (distanza che può diventare infinita).

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Martedì 15 novembre 2016

Il problema di Keplero
Abbiamo parlato delle orbite dei satelliti artificiali attorno alla terra, delle comete, ecc.

Velocità di fuga
Un proiettile viene lanciato in orbita dalla superficie di un pianeta con una certa velocità iniziale. Abbiamo calcolato il valore minimo della velocità necessario per lanciare il proiettile in un'orbita libera. Usando la conservazione dell'energia abbiamo visto che tale "velocità di fuga" è indipendente dalla massa del proiettile e dipende solo dalla massa e dal raggio del pianeta. Abbiamo accennato ai buchi neri.

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Mercoledì 16 novembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Corpo soggetto all'attrazione gravitazionale di una distribuzione di massa toroidale. Studio del moto lungo l'asse, identificazione delle posizioni di equilibrio e loro stabilità.

Un oggetto descrive un moto circolare uniforme essendo collegato ad un secchio pieno di sabbia tramite una corda insensibile che passa da un foro in un piano orizzontale. Studio dell'orbita in seguito alla perdita lenta di sabbia a causa di un foro sul fondo.

Massa vincolata su una guida circolare verticale collegata ad una molla orizzontale. Studio del potenziale e delle posizioni di equilibrio nel caso statico e nel caso di rotazioni attorno all'asse verticale di simmetria della guida.

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Giovedì 17 novembre 2016

Il problema a due corpi
Se due particelle interagiscono soltanto tra loro, la dinamica del moto relativo è descritta da un'equazione del moto per una singola particella avente massa ridotta. Abbiamo definito la massa ridotta e discusso qualche esempio (terra-luna, due masse con molla). Abbiamo anche definito la massa totale, la quantità di moto totale e la posizione del centro di massa del sistema. Usando la seconda e la terza legge di Newton per ciascuna particella e distinguendo le forze esterne ed interne al sistema, abbiamo visto che la variazione di quantità di moto totale (prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa) è uguale alla risultante delle sole forze esterne. Una conseguenza molto importante è che un sistema su cui non agiscano forze esterne (sistema isolato) conserva la sua quantità di moto totale.

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Martedì 22 novembre 2016

Urti
Abbiamo dato una definizione qualitativa di urti e di forze impulsive. Abbiamo discusso le leggi di conservazione per la quantità di moto e l'energia cinetica. Abbiamo trattato il caso di un urto frontale elastico tra due masse m1 e m2 su un orizzontale liscio. Calcolo delle velocità finali nell'ipotesi che una delle due sia inizialmente ferma. Caso limite di una massa molto maggiore dell'altra (analogo ad un urto contro un muro). Caso di due masse uguali. Caso di molte masse uguali che urtano in sequenza (pendolo di Newton). Urto visto nel sistema di riferimento del centro di massa.

Esercizio
Pallina che rimbalza sul pavimento perdendo una frazione di energia cinetica ad ogni urto. Calcolo del tempo di arresto.

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Mercoledì 23 novembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Problema a due corpi. Due masse collegate da una molla si muovono lungo un asse orizzontale dopo aver impresso una velocità iniziale ad una di esse. Determinazione del moto.

Un corpo fermo viene urtato da un altro, inizia un moto su un piano orizzontale seguito da una rampa e cade. Determinazione della velocità iniziale del corpo in movimento prima dell'urto per raggiungere una distanza dalla rampa nota. Caso di urto elastico e urto completamente anelastico.

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Giovedì 24 novembre 2016

Esercizi
Urto di due masse uguali. Abbiamo visto che le direzione del moto dopo l'urto formano una angolo retto.
Urto perfettamente anelastico.
Lancio con rinculo.

Sistemi di N particelle
Abbiamo definito il centro di massa e la quantità di moto totale di un sistema di N particelle. L'accelerazione del centro di massa è determinata solo dalle forze esterne. Nel caso di sistemi isolati conviene descrivere il moto delle particelle utilizzando il sistema di riferimento inerziale avente il centro di massa come origine. La quantità di moto totale del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM è nulla.

Momento angolare di un sistema di particelle
Il momento angolare totale di un sistema di particelle è la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ciascuna particella, calcolati rispetto ad uno stesso punto arbitrariamento scelto. Abbiamo mostrato che la derivata temporale del momento angolare del sistema è uguale alla somma dei momenti delle sole forze esterne che agiscono sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso punto. Nel caso in cui il momento delle forze esterne sia nullo, il momento angolare totale si conserva. Abbiamo visto l'esempio della formazione del sistema solare per contrazione di una nube di gas.

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Martedì 29 novembre 2016

Momento angolare di un sistema di particelle
Abbiamo mostrato che il momento angolare calcolato rispetto ad un generico punto O è uguale alla somma del momento angolare calcolato rispetto al centro di massa (momento angolare intrinseco) e del momento angolare orbitale associato al moto del centro di massa rispetto al punto O. Abbiamo visto che la legge che lega la derivata temporale del momento angolare intrinseco al momento delle forze esterne vale anche se il CM si muove di moto accelerato. Abbiamo accennato al problema delle maree in un sistema di N particelle in caduta libera o in orbita in un campo gravitazionale non uniforme.

Energia meccanica di un sistema di particelle
La variazione dell'energia cinetica totale del sistema è uguale al lavoro totale compiuto dalle forze agenti sulle particelle. Se le forze interne sono conservative, possiamo definire un'energia potenziale del sistema, funzione delle distanze relative tra le particelle, in modo che la variazione dell'energia propria del sistema (energia cinetica + energia potenziale) risulta uguale al lavoro delle sole forze esterne. Se il sistema è isolato, la velocità del CM è costante e il lavoro delle forze esterne è nullo. In tal caso l'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica (interna) e dell'energia potenziale (interna) si conserva.

Sintesi delle leggi per un sistema di particelle
Abbiamo fatto una sintesi delle equazioni che governano il moto del centro di massa, la variazione del momento angolare, la conservazione dell'energia meccanica.

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Mercoledì 30 novembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Slitta su un cuneo poggiato su un piano orizzontale. Studio della traiettoria della slitta nel sistema di riferimento inerziale in assenza di qualsiasi attrito.

Un pendolo urta una massa collegata ad un'altra mediante una corda inestensibile tesa, poste su un piano orizzontale. Descrizione del moto planare del sistema delle due masse connesse.

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Giovedì 1 dicembre 2016

Dinamica dei corpi rigidi
Un corpo rigido è un sistema di particelle in cui le distanze relative sono costanti nel tempo. Un corpo rigido può traslare e/o ruotare. I gradi di libertà sono 3 per la traslazione e 3 per la rotazione (due per individuare l'asse istantaneo di rotazione più uno per l'angolo di rotazione attorno all'asse stesso).

Momento d'inerzia di un corpo rigido
L'energia cinetica di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso ha la forma (1/2)I omega2. Il momento d'inerzia è la somma delle masse che compongono il sistema ciascuna moltiplicata per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione. Abbiamo visto qual'è la relazione tra il momento d'inerzia calcolato per rotazioni attorno ad un asse passante per un punto generico O e quello per rotazioni attorno ad un asse parallelo al primo e passante per il CM (teorema di Steiner). Abbiamo calcolato il momento d'inerzia per vari corpi rigidi omogenei: asta (rispetto ad un estremo e rispetto al CM), anello, disco, sfera.

Momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso
Abbiamo visto che il momento angolare ha una componente lungo l'asse di rotazione pari al prodotto di omega e del momento d'inerzia rispetto a quell'asse, ma può avere anche una componente perpendicolare all'asse di rotazione.

Assi principali d'inerzia
Ogni corpo ammette almeno tre assi indipendenti, detti assi principali d'inerzia, aventi la seguente proprietà: quando un corpo rigido ruota con velocità angolare omega attorno ad un suo asse principale d'inerzia il momento angolare del corpo è parallelo al vettore omega, essendo entrambi orientati lungo l'asse di rotazione. La costante di proporzionalità è il momento d'inerzia associato a quell'asse.

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Martedì 6 dicembre 2016

Esercizio
Calcolo del momento angolare di un bilancere a due masse che ruota attorno ad un asse passante per il CM ad angoli diversi.

Equazione del moto per la rotazione attorno ad un asse fisso
La derivata temporale del momento angolare è uguale alla somma dei momenti delle forze esterne. Scelto l'asse z coincidente con l'asse di rotazione fisso, l'equazione del moto si traduce in una equazione per la derivata del prodotto del momento d'inerzia per la velocità angolare, analoga alla II legge di Newton.

Pendolo di torsione
Un filo sottoposto a torsione tende a ritornare nella sua configurazione di equilibrio. Se al filo è appeso un corpo rigido, la rotazione viene trasmessa al corpo stesso tramite un momento di forze. Se il momento è proporzionale all'angolo di torsione, allora si ha un "pendolo di torsione". Abbiamo discusso brevemente il pendolo di Cavendish.

Pendolo fisico
Abbiamo scritto l'equazione del moto per un corpo rigido appeso nel campo di gravità in un punto diverso dal CM. Abbiamo visto che il corpo compie oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio, che coincide con la posizione in cui il CM si trova sulla verticale passante per il perno. Per piccole oscillazioni l'equazione del moto ha soluzioni armoniche con periodo che dipende dal momento d'inerzia. Abbiamo discusso il confronto tra il periodo di un pendolo semplice e di un'asta rigida tramite un esperimento con uno yo-yo e un righello.

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Mercoledì 7 dicembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Due aste inclinate sono appoggiate una contro l'altra in alto formando un angolo. Nella parte inferiore una molla evita che cadano sul pavimento senza attrito. Determinare la lunghezza a riposo della molla.

Pendolo urta un blocco che slitta su un piano orizzontale di un carrello e viene fermato da una molla. Determinazione della compressione massima della molla con carrello fermo oppure accelerato verso l'alto o in orizzontale.

Slitta trainata in una curva con pendenza rispetto alla verticale seguita da una discesa dritta. Studio del moto e determinazione dei coefficienti di attrito statico e dinamico.

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Martedì 13 dicembre 2016

Rotolamento di un corpo rigido
Abbiamo considerato una sfera o un cilindro che scendono rotolando lungo un piano inclinato. Abbiamo scritto le equazioni per la traslazione del CM e la rotazione rispetto al CM. Abbiamo aggiunto la condizione di puro rotolamento (accelerazione del CM uguale al raggio volte l'accelerazione angolare di rotazione). Combinando le tre equazioni si ottiene il valore della forza d'attrito e l'accelerazione, entrambi dipendenti dal momento d'inerzia. Abbiamo visto che, rotolando sullo stesso piano, una sfera ha un'accelerazione maggiore rispetto ad un cilindro. Abbiamo considerato anche la conservazione dell'energia meccanica. Nel caso del piano inclinato, l'energia potenziale si trasforma in parte in energia cinetica di traslazione e in parte in energia cinetica di rotazione.

Yo-Yo
Nel caso particolare in cui l'inclinazione è di 90 gradi (caduta verticale), la condizione di rotolamento puro rappresenta il comportamento di uno yo-yo. Abbiamo calcolato l'accelerazione di caduta dello yo-yo nel caso in cui la corda si avvolga sulla parete esterna del disco, oppure su un cilindro interno di raggio minore. Nel caso dello yo-yo, inoltre, abbiamo discusso la non-conservazione della quantità di moto e la conservazione del momento angolare nell'urto a fine corsa.

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Mercoledì 14 dicembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Slittamento e rotolamento di un cilindro o di un tubo su una rampa. Determinazione della quota massima raggiungibile nei vari casi.

Masse appese ad una carrucola con massa su due raggi diversi. Condizioni di equilibrio e studio del moto di una massa in assenza dell'altra.

Un proiettile viene sparato orizzontalmente su un cubo imperniato su uno spigolo e lo fa rotolare attorno ad esso. Determinare la velocità minima del proiettile.

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Giovedì 15 dicembre 2016

Macchina di Atwood
Abbiamo rivisto la macchina di Atwood, assegnando una massa anche alla carrucola. Abbiamo calcolato l'accelerazione delle masse e le tensioni della fune.

Statica dei corpi rigidi
Un corpo rigido inizialmente in quiete si mantiene in quiete se la risultante delle forze esterne è nulla e se la somma dei momento delle forze esterne è nulla. Queste due equazioni esprimono le condizione per la statica di una corpo rigido generico. Abbiamo visto alcuni esempi: trave orizzontale appoggiata agli estremi; leva; scala appoggiata al muro.

Urti con corpi rigidi
Abbiamo discusso le leggi di conservazione nel caso di urti di particelle con corpi rigidi. Urto elastico contro un'asta rigida vincolata nel CM.

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Martedì 20 dicembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

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Martedì 20 dicembre 2016

Urti con corpi rigidi
Urto perfettamente anelastico contro un'asta rigida vincolata ad un estremo. Pendolo balistico. Centro di percussione.

Giroscopio
Abbiamo visto cos'è un giroscopio. Abbiamo calcolato la velocità angolare di precessione nel caso di un giroscopio costituito da un cilindro in rapida rotazione sul proprio asse e soggetto alla forza di gravità. Abbiamo parlato della precessione degli equinozi e di altre applicazioni dei moti giroscopici.

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Mercoledì 21 dicembre 2016

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

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