Introduzione al corso.
Obiettivi, contenuti e modalità del corso.
Esperimento di Stern-Gerlach.
Apparati di Stern-Gerlach in sequenza e analogia con la polarizzazione della luce.
Esperimento di Stern-Gerlach.
Interpretazione dell'esperimento in termini di sovrapposizione di stati fisici.
Vettori di stato.
Definizione di bra e di ket, prodotto interno e norma.
Vettori di stato e operatori.
Operatori lineari, hermitiano coniugato di un operatore, operatori hermitiani, prodotto esterno, base ortonormale di autovettori di un operatore hermitiano, relazione di completezza, rappresentazione di operatori come matrici quadrate.
Vettori di stato e operatori.
Rappresentazione di operatori e vettori di stato e oprazioni tra matrici e vettori; l'esempio dell'operatore che rappresenta lo spin lungo z in un esperimento di Stern-Gerlach; operatori di spin flip; cenni ai qubit e i sistemi a due livelli.
Misura in meccanica quantistica.
Postulato della misura, collasso degli stati fisici, probabilità di ottenere un certo esito nella misura di un'osservabile, stati puri e ensemble misti.
Misura e valori di aspettazione.
Abbiamo definito il valore di aspettazione di un'osservabile e ne abbiamo discusso il significato in termini di valor medio della distribuzione statistica dei risultati ottenuti in esperimenti ripetuti nelle stesse condizioni.
Spin e matrici di Pauli.
Abbiamo ricavato le espressioni per gli autostati dello spin lungo x e y usando come base gli autostati dello spin lungo z; poi abbiamo ricavato la rappresentazione matriciale degli operatori di spin lungo x, y e z e defnito le matrici di Pauli.
Osservabili compatibili e incompatibili.
Abbiamo dato la definizione di osservabili compatibili e incompatibili e ne abbiamo discusso il significato nel caso di sequenze di misure di osservabili diverse.
Relazione d'indeterminazione.
Indeterminazione nella misura di un'osservabile. Dimostrazione della relazione di indeterminazione tra gli scarti quadratici medi di due osservabili qualsiasi.
Cambiamenti di base.
Operatore U per il cambiamento di base nello spazio dei vettori di stato e sue proprietà.
Spettri continui.
Osservabili con spettro continuo. Esempio della posizione. Proprità degli autostati. Delta di Dirac.
Traslazioni spaziali e momento.
Abbiamo definito l'operatore associato alle traslazioni spaziali infinitesime e abbiamo definito l'osservabile momento.
Relazioni di commutazione canonica. Principio di
indeterminazione di Heisenberg.
Funzioni d'onda.
Definizione di funzione d'onda nello spazio delle coordinate e calcolo del valore di aspettazione di funzioni della posizione.
Funzione d'onda nello spazio dei momenti. Operatore momento nella rappresentazione delle coordinate.
Funzioni d'onda nello spazio dei momenti.
Valore d'aspettazione di funzioni del momento nella rappresentazione delle coordinate. Rappresentazione del momento come derivata spaziale.
Trasformate di Fourier per il cambiamento di base dalla rappresentazione delle coordinate a quella dei momenti e viceversa.
Dinamica quantistica.
Come introdurre il tempo in meccanica quantistica non-relativistica.
Operatore di evoluzione temporale. L'operatore hamiltoniano come
generatore delle traslazioni temporali. L'equazione di Schroedinger per l'operatore
di evoluzione temporale e per i vettori di stato.
Equazione di Schroedinger nella rappresentazione delle funzioni d'onda.
Determinismo e probabilità.
Costanti del moto e stati stazionari.
Osservabili che commutano tra loro e con H. Evoluzione dei loro autostati (stati stazionari) e dei valori di aspettazione.
Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo.
Rappresentazione di Heisenberg.
Definizione di operatori nella rappresentazione di Heisenberg.
Equazione del moto di Heisenberg.
Equazione del moto. Esempio della precessione dello spin. Esempio della particella libera e della particella in un potenziale scalare.
Regola di quantizzazione di Dirac per parentesi di Poisson e commutatori. Teorema di Ehrenfest.
Particella in un potenziale scalare.
Teorema di Ehrenfest e suo significato fisico. Limite classico della meccanica
quantistica.
Oscillatore armonico in una dimensione.
Hamiltoniano dell'oscillatore armonico. Operatori a scala e regole di commutazione.
alcolo dello spettro dell'oscillatore armonico con il metodo algebrico (operatori e loro regole
di commutazione). Funzioni d'onda degli stati stazionari. Stato fondamentale di minima indeterminazione.
Oscillatore armonico in una dimensione.
Evoluzione temporale degli operatori e dei valori di aspettazione. Stati coerenti.
Cenni all'equazione di Schroedinger stazionaria e alle sue soluzioni
analitiche.
Densità di corrente di probabilità
L'evoluzione temporale è unitaria e, dunque, conserva la norma; questo implica l'esistenza di
una legge di continuità per la densità di probabilità e per la densità
di corrente di probabilità, opportunamente definita.
Densità di corrente di probabilità
Abbiamo discusso il significato fisico della densità di corrente di probabilità in termini del modulo e della fase della funzione d'onda.
Momento angolare
Abbiamo definito il momento angolare orbitale prendendolo dalla fisica classica e usando gli operatori posizione e momento con le loro regole di commutazione canonica. Abbiamo calcolato commutatori e impostato il problema della determinazione dello spettro degli autovettori con un metodo algebrico.
Momento angolare
Calcolo dello spettro del momento angolare con il metodo algebrico, usando gli operatori a scala e
le regole di commutazione.
Momento angolare e rotazioni. Generatori delle rotazioni infinitesime.
Rappresentazione del momento
angolare nello spazio delle funzioni d'onda.
Momento angolare
Considerazioni sulla
non commutatività delle componenti del momento angolare. Spettro del momento angolare orbitale: condizione imposta dal fatto che le funzioni d'onda sono monodrome.
Autofunzioni del momento angolare e armoniche sferiche.
Particella in un campo centrale.
Moto di una particella in un campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare.
Autostati comuni dell'hamiltoniano e di L2. Equazione di Schroedinger stazionaria e
fattorizzazione delle funzioni d'onda in una parte radiale e nelle armoniche sferiche.
Atomo d'idrogeno.
Equazione di Schroedinger per un elettrone nell'atomo di idrogeno. Limiti asintotici,
sviluppo in serie e formule di ricorrenza. Spettro energetico e degenerazione dei
livelli. Confronto con la vecchia teoria dei quanti. Significato degli orbitali.
Polinomi di Laguerre.
Atomo d'idrogeno.
Ultimi commenti sullo spettro dell'atomo di idrogeno e sulle funzioni d'onda.
Spin.
Le regole di commutazione degli operatori di spin sono le stesse del momento angolare
orbitale. Lo spettro è lo stesso eccetto che sono ammessi anche gli autovalori
seminteri. La rotazione associata agli operatori di spin è una rotazione nello
spazio dei vettori di stato di spin e non nello spazio euclideo.
Spin.
Abbiamo definito
il prodotto diretto (o tensoriale) di spazi di Hilbert per descrivere lo stato di una particella
di spin 1/2 che si muove nello spazio. Abbiamo introdotto il concetto di spinore. Abbiamo visto che
l'operatore somma del momento angolare orbitale e dello spin è associato a rotazioni nello spazio prodotto
diretto (sia delle posizioni che degli stati di spin).
Addizione di momenti angolari.
Momento angolare totale. Esempi di hamiltoniane per cui i momenti angolari singolarmente non
sono costanti del moto ma la loro somma sì: una particella con interazione di
spin-orbita e due particelle interagenti tra loro con un potenziale che dipende dalla distanza
relativa. Spettro del momento angolare. Esempio di due particelle con spin 1/2.
Metodi approssimati.
Premessa sui vantaggi e svantaggi delle soluzioni analitiche, numeriche e approssimate nella
descrizione dei sistemi fisici, classici e quantistici.
Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Introduzione allo sviluppo perturbativo dell'energia e degli autostati dell'hamiltoniano, con spettro
non degenere.
Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Calcolo dello sviluppo perturbativo dell'energia e degli autostati dell'hamiltoniano, con spettro
non degenere. Correzioni alle energie e agli stati al primo e secondo ordine. Esempio dell'oscillatore armonico
con perturbazione lineare.
Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Esempio di applicazione della teoria perturbativa: oscillatore armonico con
perturbazione lineare, quadratica e cubica.
Perturbazioni indipendenti dal tempo: spettro degenere.
Applicazione della teoria perturbativa a stati che appartengono a sottospazi di
stati degeneri dello spettro del'hamiltoniano imperturbato.
Perturbazioni indipendenti dal tempo: spettro degenere.
Calcolo delle correzioni perturbative per stati degeneri. Esempio della particella
confinata in una buca cubica tridimensionale. Rimozione della degenerazione tramite
un potenziale che agisce solo in una porzione del cubo.
Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Perturbazione dipendente dal tempo. Rappresentazione di interazione per vettori di stato e operatori. Equazione di Schroedinger in rappresentazione d'interazione. Serie di Dyson.
Esempio di una perturbazione costante accesa al tempo t=0. Calcolo della probabilità di transizione da uno stato iniziale assegnato ad uno stato finale diverso.
Relazione di indeterminazione energia-tempo. Regole di selezione.
Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Esempio di una perturbazione armonica. Calcolo delle probabilità di transizione per i processi di assorbimento e emissione stimolata. Caso dello spettro denso: densità degli stati e regola aurea di Fermi. Cenni alle applicazioni in spettroscopia. Cenni al problema della quantizzazione del campo elettromagnetico.
Metodo variazionale.
Stima dell'energia di un sistema con il metodo variazionale.
Due o più particelle.
Prodotti diretti di spazi di Hilbert. Vettori di stato per N particelle. Caso di due particelle isolate: cambio di coordinate e separabilità dell'hamiltoniano; riduzione a un problema a un corpo.
Sistema di N particelle indistinguibili: operatore di permutazione e simmetria delle osservabili per scambio di coordinate. Stati simmetrici e antisimmetrici. Connessione spin-statistica. Principio di esclusione di Pauli.
Particelle indistinguibili. Entanglement.
Esempi di stati simmetrici e antisimmetrici. Due particelle in due buche. Molecole e legami molecolari.
Gas di particelle identiche, lunghezza d'onda di de Broglie e distanza media. Integrale di
sovrapposizione e condizioni per trascurare l'indistinguibilità. Definizione di stati separabili e
stati entangled. Cenni alle implicazioni dell'entanglement.
Ensemble puri e ensemble misti
Definizione di ensemble misto. Calcolo del valor medio delle osservabili.
Ensemble misti e matrice densità
Definizione dell'operatore densità e della matrice densità e loro proprietà generali.
Evoluzione temporale dell'operatore densit` e analogia con l'equazione di Liouville classica. Esempio
di matrice densità: stati puri e misti di spin nell'esperimento di Stern-Gerlach.
Sintesi dei postulati della meccanica quantistica
Considerazioni finali sul corso.