• Settembre: 11, 14, 18, 21, 25, 28.
• Ottobre: 2, 5, 9, 12, 16, 19, 23, 26, 30.
• Novembre: 2, 6, 9, 13, 16, 20, 23, 27.
• Dicembre: 4, 7, 11, 14, 18, 19.

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Introduzione al corso.
Obiettivi, contenuti e modalità del corso.

Esperimento di Stern-Gerlach.
Apparati di Stern-Gerlach in sequenza e analogia con la polarizzazione della luce.

(orario 10.30-12.30)

Esperimento di Stern-Gerlach.
Interpretazione dell'esperimento in termini di sovrapposizione di stati fisici.

Vettori di stato.
Definizione di vettori di stato (ket) associati agli stati fisici dei sistemi e di operatori associati alle grandezza fisiche. Prodotto interno, norma, ortogonalità, diseguaglianza di Schwarz.

Vettori di stato e operatori.
Prodotto esterno di vettori. Operatori lineari. Prodotto di operatori e commutatori. Operatori hermitiani. Base ortonormale di autovettori di un operatore hermitiano, relazione di completezza.

Vettori di stato e operatori.
Rappresentazione di operatori come matrici quadrate e di vettori di stato come ennuple di numeri complessi. L'esempio dell'operatore che rappresenta lo spin lungo z in un esperimento di Stern-Gerlach; operatori di spin flip; cenni ai qubit e i sistemi a due livelli.

Misura in meccanica quantistica.
Postulato della misura, collasso degli stati fisici, probabilità di ottenere un certo esito nella misura di un'osservabile, stati puri e ensemble misti. Abbiamo definito il valore di aspettazione di un'osservabile e ne abbiamo discusso il significato in termini di valor medio della distribuzione statistica dei risultati ottenuti in esperimenti ripetuti nelle stesse condizioni.

Spin e matrici di Pauli.
Abbiamo ricavato le espressioni per gli autostati dello spin lungo x e y usando come base gli autostati dello spin lungo z; poi abbiamo ricavato la rappresentazione matriciale degli operatori di spin lungo x, y e z e definito le matrici di Pauli.

Osservabili compatibili e incompatibili.
Abbiamo dato la definizione di osservabili compatibili e incompatibili.

Osservabili compatibili e incompatibili.
Abbiamo discusso cosa avviene in sequenze di misure di osservabili diverse, compatibili e incompatibili. Abbiamo parlato di spettri degeneri e insiemi massimali di osservabili compatibili. Abbiamo fatto l'esempio della sequenza di misure di spin. Abbiamo accennato all'interferenza da doppia fenditura.

Relazione d'indeterminazione.
Abbiamo definito l'indeterminazione nella misura di un'osservabile e abbiamo scritto la relazione d'indeterminazione per due generiche osservabili.

Relazione d'indeterminazione.
Dimostrazione della relazione di indeterminazione tra gli scarti quadratici medi di due osservabili qualsiasi.

Cambiamenti di base.
Operatore U per il cambiamento di base nello spazio dei vettori di stato e sue proprietà.

Spettri continui.
Osservabili con spettro continuo. Esempio della posizione. Proprietà degli autostati. Delta di Dirac.

Traslazioni spaziali e momento.
Abbiamo definito l'operatore associato alle traslazioni spaziali infinitesime. Poi abbiamo definito l'osservabile momento e introdotto le relazioni di commutazione canonica e, infine, abbiamo discusso il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Funzioni d'onda.
Definizione di funzione d'onda nello spazio delle coordinate e calcolo del valore di aspettazione di funzioni della posizione. Funzione d'onda nello spazio dei momenti. Operatore momento nella rappresentazione delle coordinate. Rappresentazione del momento come derivata spaziale. Trasformate di Fourier per il cambiamento di base dalla rappresentazione delle coordinate a quella dei momenti e viceversa.

Dinamica quantistica.
Come introdurre il tempo in meccanica quantistica non-relativistica. Operatore di evoluzione temporale. L'operatore hamiltoniano come generatore delle traslazioni temporali. L'equazione di Schroedinger per l'operatore di evoluzione temporale e per i vettori di stato. Equazione di Schroedinger nella rappresentazione delle funzioni d'onda. Determinismo e probabilità.

Costanti del moto e stati stazionari.
Osservabili che commutano tra loro e con H. Evoluzione dei loro autostati (stati stazionari) e dei valori di aspettazione. Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo. Precessione dello spin.

Rappresentazione di Heisenberg.
Definizione di operatori nella rappresentazione di Heisenberg. Equazione del moto. Esempio della precessione dello spin. Esempio della particella libera e della particella in un potenziale scalare. Regola di quantizzazione di Dirac per parentesi di Poisson e commutatori.

Teorema di Ehrenfest
Teorema di Ehrenfest e suo significato fisico. Limite classico della meccanica quantistica.

Oscillatore armonico in una dimensione.
Hamiltoniano dell'oscillatore armonico. Operatori a scala e regole di commutazione. Calcolo dello spettro dell'oscillatore armonico con il metodo algebrico (operatori e loro regole di commutazione). Funzioni d'onda degli stati stazionari. Stato fondamentale di minima indeterminazione.

Oscillatore armonico in una dimensione.
Evoluzione temporale degli operatori e dei valori di aspettazione. Stati coerenti.

Densità di corrente di probabilità.
Abbiamo visto che l'equazione di Schrödinger per una particella che si muove nello spazio implica un'equazione di continuità per la densità di probabilità e la densità di corrente di probabilità opportunamente definita.

Momento angolare
Abbiamo definito il momento angolare orbitale prendendolo dalla fisica classica e usando gli operatori posizione e momento con le loro regole di commutazione canonica. Abbiamo calcolato commutatori e impostato il problema della determinazione dello spettro degli autovettori con un metodo algebrico.

Momento angolare
Abbiamo calcolato lo spettro del momento angolare usando le regole di commutazione e gli operatori a scala. Abbiamo cominciato a discutere la relazione tra il momento angolare e le rotazioni dei vettori nello spazio euclideo tridimensionale.

Momento angolare
Abbiamo dimostrato che le componenti del momento angolare, intese come operatori, sono i generatori delle rotazioni attorno i rispettivi assi e che questo comporta un ulteriore condizione sugli autovalori di L² e L_z. Abbiamo visto come si comportano gli operatori associati al momento angolare quando agiscono sulle funzioni d'onda e abbiamo riscritto le equazioni agli autovalori nella forma di equazioni differenziali per le armoniche sferiche.

Particella in un campo centrale.
Moto di una particella in un campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare. Autostati comuni dell'hamiltoniano e di L². Equazione di Schroedinger stazionaria e fattorizzazione delle funzioni d'onda in una parte radiale e nelle armoniche sferiche.

Atomo d'idrogeno.
Equazione di Schroedinger per un elettrone nell'atomo di idrogeno. Limiti asintotici, sviluppo in serie e formule di ricorrenza. Calcolo dello spettro energetico.

Atomo d'idrogeno.
Spettro energetico e degenerazione dei livelli. Confronto con la vecchia teoria dei quanti. Significato degli orbitali. Polinomi di Laguerre.

Spin.
Le regole di commutazione degli operatori di spin sono le stesse del momento angolare orbitale. Lo spettro è lo stesso eccetto che sono ammessi anche gli autovalori seminteri. Spin e rotazioni.

Spin.
La rotazione associata agli operatori di spin è una rotazione nello spazio dei vettori di stato di spin, di dimensioni finite, e non nello spazio euclideo. Abbiamo definito il prodotto diretto (o tensoriale) di spazi di Hilbert per descrivere lo stato di una particella di spin 1/2 che si muove nello spazio. Abbiamo introdotto il concetto di spinore. Abbiamo visto che l'operatore somma del momento angolare orbitale e dello spin è associato a rotazioni nello spazio prodotto diretto, che comprende sia i gradi di libertà spaziali che di spin.

Addizione di momenti angolari.
Momento angolare totale. Esempio di hamiltoniana per cui i momenti angolari singolarmente non sono costanti del moto ma la loro somma sì: una particella con interazione di spin-orbita.

Addizione di momenti angolari.
Esempio dello spin totale di un sistema composto da due particelle con spin 1/2. Coefficienti di Clebsch-Gordan. Cenni al caso generale.

Metodi approssimati.
Premessa sui vantaggi e svantaggi delle soluzioni analitiche, numeriche e approssimate nella descrizione dei sistemi fisici, classici e quantistici. Introduzione allo sviluppo perturbativo dell'energia e degli autostati dell'hamiltoniano, con spettro non degenere.

Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Calcolo dello sviluppo perturbativo dell'energia e degli autostati dell'hamiltoniano, con spettro non degenere. Correzioni alle energie e agli stati al primo e secondo ordine. Esempio dell'oscillatore armonico con perturbazione lineare.

Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Esempio dell'oscillatore armonico con perturbazione lineare e cubica.

Perturbazioni indipendenti dal tempo: spettro degenere.
Applicazione della teoria perturbativa a stati che appartengono a sottospazi di stati degeneri dello spettro del'hamiltoniano imperturbato.

Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Perturbazione dipendente dal tempo. Rappresentazione di interazione per vettori di stato e operatori. Equazione di Schroedinger in rappresentazione d'interazione. Serie di Dyson. Esempio di una perturbazione costante accesa al tempo t=0. Calcolo della probabilità di transizione da uno stato iniziale assegnato ad uno stato finale diverso. Relazione di indeterminazione energia-tempo. Regole di selezione.

Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Esempio di una perturbazione armonica. Calcolo delle probabilità di transizione per i processi di assorbimento e emissione stimolata. Caso dello spettro denso: densità degli stati e regola aurea di Fermi. Cenni alle applicazioni in spettroscopia. Cenni al problema della quantizzazione del campo elettromagnetico.

Metodo variazionale.
Stima dell'energia di un sistema con il metodo variazionale.

Due o più particelle.
Prodotti diretti di spazi di Hilbert. Vettori di stato per N particelle. Caso di due particelle isolate: cambio di coordinate e separabilità dell'hamiltoniano; riduzione a un problema a un corpo. Sistema di N particelle indistinguibili: operatore di permutazione e simmetria delle osservabili per scambio di coordinate.

Due o più particelle.
Stati simmetrici e antisimmetrici per scambio di particelle. Degenerazione di scambio. Connessione spin-statistica. Principio di esclusione di Pauli. Esempi di stati di bosoni e fermioni in due buche. Molecole e legami molecolari.

Due o più particelle.
Statistica per particelle composite. Integrale di sovrapposizione e condizioni per trascurare l'indistinguibilità.

Entanglement.
Cenni alle implicazioni dell'entanglement in misure su sistemi di due particelle, nel caso di misure effettuate a grandi distanze su stati entangled.

Ensemble puri e ensemble misti
Definizione di ensemble misto. Calcolo del valor medio delle osservabili. Definizione dell'operatore densità e della matrice densità e loro proprietà generali. Evoluzione temporale dell'operatore densità e analogia con l'equazione di Liouville classica. Matrice densità per stati puri e misti di spin nell'esperimento di Stern-Gerlach.

Sintesi dei postulati della meccanica quantistica
Considerazioni finali sul corso.

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