Oscillatori
Abbiamo riscritto l'equazione del moto per una particella soggetta
ad una forza elastica. Abbiamo poi considerato il caso di un
oscillatore soggetto ad una forza di attrito proporzionale alla
velocità (oscillatore smorzato). Abbiamo visto che, per
piccolo smorzamento, le soluzioni dell'equazione del moto sono
funzioni sinusoidali con ampiezza che decresce esponenzialmente
nel tempo. Abbiamo fatto un cenno anche al caso di smorzamento
critico e di moto sovrasmorzato.
Oscillatore forzato e smorzato
Abbiamo ricavato la soluzione dell'equazione del moto di un
oscillatore forzato e smorzato, come somma di una soluzione
transiente e una soluzione periodica avente la stessa frequenza
della forzante. L'ampiezza dell'oscillazione e lo sfasamento
rispetto alla forzante dipendono dalla frequenza di quest'ultima
in modo interessante: si ottiene un massimo di ampiezza quando
la frequenza della forzante è prossima alla frequenza
propria dell'oscillatore, cioè quella che avrebbe in
assenza di forzante e di smorzamento. Questo effetto si chiama
risonanza.
Risonanza
Abbiamo studiato lo sfasamento in funzione della frequenza e
abbiamo visto che, alla risonanza, l'oscillazione è sfasata
di pi/2 rispetto alla forzante. Abbiamo calcolato la potenza
media (lavoro fatto dalla forzante nell'unità di tempo, mediato
su un periodo di oscillazione) e abbiamo visto che ha un massimo
alla risonanza. Abbiamo definito il fattore di qualità Q
del risonatore e la larghezza di banda.
Oscillatori accoppiati
Abbiamo considerato un sistema costituito da due oscillatori
meccanici collegati da una molla (due masse e tre molle, di cui
due vincolate agli estremi). Abbiamo scritto le equazioni del
moto, che costituiscono un sistema di due equazioni differenziali
accoppiate, lineari. Abbiamo calcolato i modi normali, corrispondenti
ad oscillazioni in fase e in controfase. Abbiamo scritto la soluzione
generale e abbiamo trattato esplicitamente il caso in cui viene
inizialmente eccitato un oscillatore. L'energia passa periodicamente
da un oscillatore all'altro.
Equazione delle onde
Abbiamo visto come si tratta formalmente il passaggio da una catena di
N oscillatori discreti ad un continuo, come nel caso di una corda elastica
che ammette deformazioni longitudinali e/o trasverse. Abbiamo visto
come si può rappresentare in forma matematica una "deformazione" che
si propaga nel tempo con velocità assegnata: in 1D deve essere una
funzione di (x-vt). Tali funzioni sono soluzioni di un'equazione nota
come equazione delle onde. Soluzioni di questo tipo sono le funzioni
che rappresentano le onde, periodiche sia nello spazio che nel tempo.
Abbiamo definito il vettore d'onda, la lunghezza d'onda, la pulsazione,
il periodo, la velocità di fase.
Interferenza, battimenti, onde stazionarie
L'equazione delle onde è lineare: combinazioni lineari di
soluzioni sono anch'esse soluzioni. Possiamo trattare in questo modo
i casi di onde sovrapposte. Abbiamo visto: l'interferenza tra due onde
che hanno uguale lunghezza d'onda e periodo, ma fase diversa.
Abbiamo visto il battimento di due onde che hanno pulsazioni e lunghezze d'onda
diverse di poco e l'onda stazionaria che si genera sommando un'onda
incidente e un'onda riflessa. Abbiamo fatto l'esempio di corde vibranti e
abbiamo parlato di modi normali, armoniche, ecc..
Introduzione alla termodinamica
Sistemi termodinamici e grandezze macroscopiche:
volume, densità, pressione, temperatura.
Definizione di pressione, strumenti di misura e
unità. Equilibrio termico. Principio zero della
termodinamica (proprietà transitiva dell'equilibrio
termico). Punti fissi. Esempi: punto del ghiaccio, punto
del vapore, punto triplo dell'acqua.
Termometri
Caratteristiche termometriche e termometri. Termometri a dilatazione.
Scala Celsius. Descrizione e funzionamento di un termometro a gas. Definizione
di temperatura tramite termometri a gas.
Abbiamo visto cosa succede empiricamente quando i termometri a
gas vengono utilizzati con gas rarefatti. Si ottiene un comportamento
universale e una scala di temperature che non dipende dal tipo di
gas.
Percorso di approfondimento: oscillatori accoppiati e matrici
Abbiamo visto come si trattano gli oscillatori usando il formalismo dell'algebra
lineare e delle matrici. Abbiamo calcolato autovalori e autovettori (modi normali) per
le oscillazioni di 2 e 3 masse accoppiate tra loro da molle. Abbiamo discusso e osservato
il caso di due pendoli debolmente accoppiati.
Gas ideale (o gas perfetto)
I gas rarefatti obbediscono
ad una semplice relazione tra pressione, volume e temperatura:
PV=nRθ (equazione di stato del gas ideale), dove R è
detta costante universale dei gas e n è la quantità di
gas espressa in moli.
Equilibrio termodinamico
Quando un sistema è in equilibrio termico, meccanico
e chimico, allora si dice che è in equilibrio
termodinamico. Il suo stato è completamente
determinato da un insieme di coordinate termodinamiche
(macroscopiche), quali la temperatura, il volume, la
pressione, la concentrazione, ecc.. Abbiamo definito i
sistemi idrostatici, come i sistemi i cui stati sono
determinati soltanto da pressione, volume e temperatura.
Trasformazioni termodinamiche
Il passaggio da
uno stato di equilibrio ad un altro si chiama trasformazione
termodinamica. La trasformazione può avvenire in
modi diversi. Una classe di trasformazioni importanti sono
quelle quasistatiche, cioè quelle che avvengono
in modo tale che il sistema si trovi sempre in stati
prossimi all'equilibrio. Tali trasformazioni sono
rappresentate da linee nei diagrammi P-V o P-t, o
simili diagrammi di stato.
Trasformazioni termodinamiche
Abbiamo visto come si
rappresentano le trasformazioni quasistatiche isoterme
di un gas in un diagramma P-V. Abbiamo parlato di transizioni
di fase.
Calore
Abbiamo visto che una trasformazione termodinamica può
coinvolgere scambi di calore e/o lavoro meccanico. Abbiamo
dato una definizione empirica di calore, sulla base dell'effetto
del contatto termico tra sistemi a temperatura diversa. Abbiamo
definito la caloria, la capacità termica e il calore
specifico. Abbiamo discusso il funzionamento dei calorimetri.
Calore e lavoro
Abbiamo visto esempi di procedure per compiere
lavoro su un sistema termodinamico. Abbiamo mostrato che
lavoro e calore possono avere effetti equivalenti e che,
quindi, si può scrivere una relazione quantitativa
tra l'unità di calore (caloria) e l'unità di
lavoro (joule).
Gli esperimenti mostrano che in ogni trasformazione termodinamica
effettuata con soli mezzi adiabatici (nessun contatto termico tra
il sistema e l'ambiente) il lavoro compiuto non dipende dal tipo
di trasformazione ma solo dagli stati iniziale e finale (di
equilibrio).
Energia interna
Gli esperimenti mostrano che il lavoro adiabatico non dipende dal tipo
di trasformazione ma solo dagli stati iniziale e finale (di
equilibrio). Si può allora definire una funzione delle
coordinate termodinamiche, U, tale che la sua variazione in una
trasformazione generica tra due stati di equilibrio sia proprio
il lavoro compiuto in una qualsiasi trasformazione adiabatica che
li collega (lavoro adiabatico). Tale funzione si chiama energia
interna. La convenzione sul segno è scelta in modo che
un lavoro positivo fatto dal sistema sull'ambiente corrisponde ad
una diminuzione di energia interna del sistema.
Primo principio della termodinamica
In una trasformazione non adiabatica, in cui sono ammessi
contatti termici tra il sistema e l'ambiente, il lavoro compiuto
per passare da uno stato iniziale ad uno stato finale è
generalmente diverso dal lavoro adiabatico. La differenza è
associata a processi non meccanici dovuti al contatto termico.
Si può definire come calore, Q, la differenza tra il lavoro
compiuto dal sistema nella trasformazione, W, e il lavoro che si
otterrebbe connettendo gli stessi stati con una trasformazione
adiabatica. Dato che quest'ultimo è pari alla variazione
di energia interna (con il segno meno), si può scrivere
Q = W + ΔU, ovvero ΔU = Q - W. Questo è noto
come primo principio della termodinamica.
Percorso di approfondimento: oscillatori accoppiati e onde
Abbiamo rivisto in dettaglio i modi normali di tre oscillatori
accoppiati (masse uguali e molle identiche). Poi abbiamo
considerato una catena infinita di oscillatori, passando
da elementi discreti al continuo. Abbiamo visto come si
può ricavare l'equazione delle onde e abbiamo
discusso i modi normali di vibrazione di una corda elastica di
di lunghezza assegnata, fissa agli estremi.
Transizioni di fase e calore latente
Siamo tornati sulla questione dei diagrammi di fase di sostanze
tipiche, che mostrano transizioni tra fasi gassose, liquide e solide.
Abbiamo accennato all'espansione del viriale per un gas reale.
Abbiamo definito i calori latenti associati alle transizioni di
fase del primo ordine.
Commenti al primo principio della termodinamica
Abbiamo discusso il significato fisico del primo principio.
La definizione di calore data come differenza tra lavoro e lavoro
adiabatico risulta essere consistente con la definizione
empirica basata sul concetto di caloria. Il primo principio, in
sintesi, sancisce l'esistenza dell'energia interna di un sistema
termodinamico e la sua relazione con il lavoro meccanico eseguito
e il calore scambiato in una trasformazione.
Abbiamo discusso il significato di calore, lavoro, energia in
trasformazioni termodinamiche. Abbiamo parlato di trasformazioni
cicliche. Abbiamo parlato del moto perpetuo.
Sul primo principio si veda anche questa breve sintesi.
Primo principio della termodinamica in forma differenziale
Abbiamo scritto il primo principio per trasformazioni infinitesime.
Abbiamo visto che la variazione infinitesima di energia interna
è un differenziale esatto, esprimibile tramite le derivate
parziali rispetto alle coordinate termodinamiche. Abbiamo scritto
l'espressione del lavoro per sistemi idrostatici (dW=PdV).
Trasformazioni quasistatiche per un gas ideale
Abbiamo cominciato a parlare di trasformazioni quasistatiche
di un gas ideale, a partire da una trasformazione isoterma
di cui abbiamo tracciato il diagramma P-V e abbiamo calcolato
il lavoro svolto dal gas. Abbiamo introdotto le trasformazioni
isocore (volume costante) e isobare (pressione costante).
Abbiamo disegnato le curve
nel diagramma P-V e calcolato il lavoro compiuto dal gas in
ciascuna di esse. Abbiamo considerato anche una trasformazione
ciclica composta da una sequenza di isoterma-isobara-isocora.
Gasi ideali: U dipende solo dalla temperatura
Gli esperimenti mostrano che se un gas rarefatto viene
fatto espandere liberamente (senza lavoro
meccanico) e adiabaticamente (senza scambi di calore) tra due
stati di equilibrio, la temperatura del gas non cambia.
Questo implica che l'energia interna del gas dipende
solo dalla temperatura. Abbiamo definito un gas ideale proprio
come un gas che gode di questa proprietà e che soddisfa
l'equazione di stato PV=nRθ.
Percorso di approfondimento: caos, attrattori, frattali
Abbiamo osservato e discusso il comportamento di un pendolo doppio.
Le equazioni del moto sono non-lineari e il moto è caotico.
Abbiamo parlato del modello di Lorenz per la dinamica
dell'atmosfera. Anche in quel caso le equazioni sono non-lineari e
le soluzioni sono caotiche, almeno per certi valori dei parametri
del problema. Abbiamo parlato di attrattori strani e strutture
frattali. Abbiamo osservato il comportamento di un pendolo magnetico
con tre attrattori. Abbiamo discusso la struttura dei "fractal
basin boundaries". Abbiamo ragionato sul significato della
predittività in sistemi deterministici caotici e abbiamo
visto il motivo per cui è molto difficile dare predizioni
affidabili su tempi lunghi.
Calori specifici di un gas ideale
Il calore specifico a volume costante di un
gas ideale può essere calcolato tramite la derivata
dell'energia interna rispetto alla temperatura (non occorre
specificare se tenendo costante il volume o la pressione,
dato che U dipende solo da θ). Allora il primo
principio della termodinamica può essere riscritto
nella forma δQ = ncvdθ+PdV.
Abbiamo
definito il calore specifico a pressione costante e abbiamo
mostrato che cp=cv+R. Abbiamo dato una
spiegazione qualitativa del perchè cp è
maggiore di cv, usando l'esempio di un gas in un
cilindro con pistone, a cui viene fornito un certo calore Q
a volume costante o a pressione costante.
Trasformazione adiabatica quasistatica
Abbiamo visto come si comportano le coordinate termodinamiche di
un gas ideale quando si compie una trasformazione adiabatica
quasistatica (lenta espansione o compressione del gas in assenza di
contatti termici con l'ambiente). Abbiamo tracciato la curva
della trasformazione nel diagramma P-V.
Riepilogo delle trasformazioni quasistatiche di un gas ideale
Abbiamo riassunto le proprietà di alcune trasformazioni
quasistatiche di un gas ideale (isoterma, isocora, isobara,
adiabatica) calcolando il lavoro eseguito, il calore scambiato
e la variazione di energia interna.
Ciclo di Carnot e macchine termiche
Abbiamo discusso il ciclo di Carnot per un gas ideale, composto
da due isoterme e due adiabatiche quasistatiche. Abbiamo visto che
il ciclo è un esempio di macchina termica che produce
lavoro a spese del calore estratto da una sorgente (termostato).
Un secondo termostato, a temperatura più bassa serve a
scaricare il calore che risulta dalla differenza tra il calore
assorbito dalla sorgente calda e il lavoro compiuto dal
sistema nel ciclo. Abbiamo definito il rendimento di una generica
macchina termica.
Rendimento del ciclo di Carnot per un gas ideale
Abbiamo calcolato esplicitamente
per il ciclo di Carnot, trovando che esso dipende solo dal
rapporto tra le temperature dei due termostati che scambiano
calore con il sistema nei tratti isotermi. Abbiamo visto altri esempi di
processi basati su trasformazioni cicliche, come il ciclo Stirling
e il ciclo Diesel.
Secondo principio della termodinamica (Kelvin-Planck)
Abbiamo parlato in generale dei processi che trasformano
calore in lavoro e viceversa. Gli esperimenti mostrano che è
impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello
di assorbire una certa quantità di calore da un serbatoio
e di convertirlo completamente in lavoro. Questa affermazione
corrisponde al secondo principio della termodinamica,
nella forma nota come enunciato di Kelvin-Planck e implica,
tra l'altro l'impossibilità di realizzare il
moto perpetuo di seconda specie.
Macchine frigorifere
Abbiamo visto come sia possibile realizzare trasformazioni
cicliche in cui una certa quantità di calore viene
prelevata da una sorgente fredda, tramite un lavoro fatto
dall'ambiente sul sistema. Una quantità di calore
pari alla somma del lavoro compiuto e del calore
estratto dalla sorgente fredda viene ceduto ad una sorgente
calda. Una trasformazione di questo tipo corrisponde ad una
macchina frigorifera.
Secondo principio della termodinamica (Clausius)
Gli esperimenti mostrano che non è possibile
realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico
risultato sia quello di far passare del calore da un corpo
più freddo ad uno più caldo. Questa affermazione
è nota come enunciato di Clausius del secondo principio
della termodinamica.
Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)
Gas monoatomico contenuto in un cilindro con pistone mobile a contatto con l'aria. Il cilindro ha pareti diatermiche ed è immerso in acqua. Studio di varie trasformazioni quasistatiche del gas (isobara, isocora, isoterma e adiabatica). Bilancio energetico.
Blocco di metallo a contatto con un blocco di ghiaccio. Studio dell'andamento delle temperature dei due corpi tenendo conto dei vari passaggi di stato.
Secondo principio, equivalenza degli enunciati
Abbiamo dimostrato l'equivalenza dei due enunciati,
di Kelvin-Planck e di Clausius, del secondo principio,
mostrando che se l'uno è falso anche l'altro lo
è.
Irreversibilità e secondo principio
Abbiamo discusso brevemente esempi di irreversibilità
meccanica interna, irreversibilità termica e chimica.
Il secondo principio può essere usato per dimostrare
l'irreversibilità di tutti i processi reali. I processi
reversibili possono essere immaginati come limite ideale di
processi reali, in cui le trasformazioni avvengono in modo
quasistatico e senza dissipazioni.
Macchine termiche operanti tra due termostati. Teorema di Carnot
Usando il secondo principio abbiamo dimostrato che nessuna
macchina termica operante tra due termostati ha un rendimento
maggiore di una qualsiasi macchina termica reversibile operante tra
gli stessi termostati. Abbiamo anche dimostrato che tutte le
macchine reversibili, operanti tra gli stessi termostati,
hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dal sistema
termodinamico con cui operano.
Temperatura assoluta
L'uguaglianza del rendimento delle macchine termiche permette
di definire una nuova scala di temperatura (assoluta), basata
operativamente sulla misura del rapporto dei calori scambiati
da una macchina termica reversibile con i termostati.
Abbiamo visto che, con una
opportuna scelta del punto fisso della scala (T=273.16 K al
punto triplo dell'acqua), la nuova scala coincide con la scala
dei termometri a gas, laddove questi funzionano.
Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)
Calcolo della temperatura di fusione e del calore latente di fusione di un blocco di metallo soggetto a una sorgente di calore di nota potenza.
Contenitore con pareti adiabatiche suddiviso in 3 settori da due pareti tenute separate da una molla. Sono presenti n moli di gas biatomico in ciascuno dei settori laterali. Si determinino i parametri termodinamici all'equilibrio e dopo aver introdotto calore in uno dei due mediante una resistenza.
Confronto tra l'efficienza di una macchina di Carnot e una di Stirling. Discussione sulla differenza tra l'uso di 2 o infiniti serbatoi.
Stima del rendimento dei motori a benzina e Diesel mediante il calcolo semplificato con i cicli Otto e Diesel ideali.
Temperatura assoluta
Abbiamo
discusso il significato di T=0 sulla base del II principio
e conciderando il coefficiente di prestazione dei frigoriferi
nel limite di T che tende a 0.
Teorema di Clausius
Dal secondo principio della termodinamica e dalla definizione
di temperatura assoluta segue che, nel caso di macchine
termiche operanti tra due serbatoi a temperature Tf e Tc,
la somma (Qf/Tf)+(Qc/Tc) è sempre minore o uguale a
zero; è uguale a zero per macchine reversibili. Abbiamo
visto che questo risultato è generalizzabile al caso
di macchine che operano con N serbatoi, con N qualsiasi.
L'abbiamo dimostrato usando un serbatoio ausiliario e
N macchine di Carnot reversibili ausiliarie. Abbiamo visto
che la somma algebrica dei Q/T è sempre minore o
uguale a zero. Nel caso di infiniti serbatoi, con cui la
macchina scambia quantità infinitesime di calore,
la somma diventa un integrale di δQ/T. Per macchine
reversibili si ha che l'integrale di δQ/T su un
ciclo è zero. Questo risultato è noto come
teorema di Clausius.
Entropia
Il teorema di Clausius ha come diretta conseguenza che
l'integrale di δQ/T lungo una trasformazione reversibile
che connette due stati di equilibrio A e B non dipende dal
tipo di trasformazione, purché reversibile. Si può
allora introdurre una nuova funzione di stato (funzione delle
coordinate termodinamiche), detta entropia, in modo tale che
la differenza di entropia tra gli stati A e B è uguale
all'integrale di δQ/T calcolato lungo una qualsiasi
trasformazione reversibile che connetta i due stati.
Entropia di un gas ideale
Sfruttando le espressioni del primo principio della termodinamica
per trasformazioni reversibili di un gas ideale, possiamo
calcolare, a meno di una costante arbitraria, l'entropia in
funzione di T e P, oppure di T e V.
Commenti sull'entropia
i) Abbiamo commentato il fatto che S è una funzione
di stato e che dS è un differenziale esatto. ii) Abbiamo
visto che i calori specifici sono esprimibili tramite le derivate
parziali di S rispetto alla temperatura, a volume o a pressione
costante. iii) Abbiamo visto che S è una grandezza
estensiva e additiva, ovvero l'entropia di un sistema è scrivibile
come somma dell'entropia dei sottosistemi che lo compongono.
Diagramma T-S
Abbiamo visto che le trasformazioni reversibili sono rappresentabili
in diagrammi temperatura-entropia. Abbiamo visto gli esempi
delle trasformazioni isoterme, adiabatiche, isocore e isobare,
e del ciclo di Carnot.
Legge di aumento dell'entropia
Abbiamo visto che il secondo principio della termodinamica
si traduce in una diseguaglianza per le variazioni di
entropia: in qualsiasi trasformazione di un sistema
isolato la variazione di entropia è positiva
o nulla; è nulla se la trasformazione è
reversibile. Abbiamo
espresso la legge di aumento dell'entropia per l'universo termodinamico,
inteso come caso particolare di sistema isolato e abbiamo detto che
una diminuzione di entropia locale implica comunque un aumento
di entropia dell'universo, tranne nel caso di processi reversibili.
Abbiamo visto l'esempio
di un'espansione libera (adiabatica irreversibile) di un
gas inizialmente confinato in un volume V1 e che alla fine
occupa un volume V2. Abbiamo calcolato la variazione di
entropia, ΔS = nR log(V1/V2).
Legge di aumento dell'entropia: esempi
Abbiamo mostrato alcuni esempi di trasformazioni irreversibili,
calcolando la variazione di entropia del sistema, dell'ambiente e
dell'universo.
Entropia e degradazione dell'energia
Abbiamo visto che l'aumento di entropia dell'universo in ogni
processo fisico è associato ad un certo quantitativo
di energia, interna o meccanica, che viene "sprecata" o
"degradata". Abbiamo definito l'energia "degradata" a
partire dal confronto tra il lavoro eseguito in una
trasformazione reversibile e quello eseguito in una trasformazione
irreversibile a parità di energia disponibile
all'inizio. Abbiamo trovato che questa energia "degradata"
è uguale al prodotto
della variazione di entropia dell'universo per la temperatura
del serbatoio più freddo a disposizione. Abbiamo
visto alcuni esempi.
Energia libera e potenziali termodinamici
Abbiamo visto che lo stato di equilibrio termodinamico
di un sistema isolato è uno stato di massima
entropia. Se invece il sistema è in contatto con
un serbatoio a temperatura costante T, allora conviene
introdurre una nuova funzione termodinamica F=U-TS, detta
energia libera di Helmholtz. Si dimostra che in ogni
trasformazione il lavoro meccanico massimo
ottenibile dal sistema è pari a -ΔF.
Se il sistema è anche dinamicamente isolato (non
compie lavoro meccanico) allora ogni sua trasformazione
diminuisce l'energia libera. Lo stato di equilibrio è
lo stato con energia libera minima.
Energia libera e potenziali termodinamici
Per sistemi a
pressione costante si può definire un'altra funzione,
l'energia libera di Gibbs,
che ha un ruolo simile all'energia libera di Helmholtz.
Queste funzioni di stato sono dette potenziali termodinamici.
Teoria cinetica dei gas
Abbiamo considerato un modello per un gas ideale, in cui
un grande numero N di particelle puntiformi di uguale massa si
muovono senza interagire tra loro e urtando contro le pareti.
Abbiamo parlato dell'ipotesi di caos molecolare. Abbiamo
interpretato la pressione esercitata dal sistema di particelle
sulle pareti come l'effetto di urti. Il modello
risulta consistente con l'equazione di stato di un gas ideale
se si assume che l'energia cinetica media di ciascuna
particella sia uguale a (3/2)kT, dove k è una costante
universale, detta costante di Boltzmann.
Quindi, il modello di gas ideale, basato sulla meccanica newtoniana
e alcune ipotesi ragionevoli,
permette di assegnare un significato meccanico "microscopico"
alla temperatura e alla pressione del gas.
Teoria cinetica dei gas
L'energia interna del gas risulta essere la somma delle
energie cinetiche di traslazione
delle particelle (se sono puntiformi e non hanno altri gradi di
libertà oltre a quelli della traslazione), pari a N
volte l'energia cinetica media. Quindi U dipende solo da T,
come dev'essere, e il calore specifico molare a volume
costante, derivata di U rispetto a T per una mole di gas,
risulta essere (3/2)R, in accordo con gli esperimenti sui
gas monoatomici rarefatti. Abbiamo esaminato il caso di
molecole biatomiche che possono ruotare e vibrare. Abbiamo
accennato al principio di equipartizione dell'energia.
Abbiamo discusso il problema del calore specifico dei
solidi, visti come insieme di oscillatori armonici.
Questi modelli meccanici danno anche una base microscopica
agli scambi di calore tra sistemi a temperatura diversa.
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Abbiamo definito la probabilità che una singola
particella di un gas ideale abbia modulo della velocità
compreso in un intervallo infinitesimo dv intorno al valore
v come il prodotto di dv volte una funzione f(v) detta funzione
di distribuzione delle velocità. Abbiamo introdotto
la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, discutendone le
proprietà principali e il significato fisico.
Microstati e macrostati
Abbiamo ripreso lo studio dell'espansione libera di un gas ideale,
ricordando il risultato per la variazione di entropia nel caso
di un raddoppio di volume: ΔS = nR log2. Ci siamo posti
il problema di interpretare questa variazione di entropia sulla
base di un modello microscopico del gas. Per fare questo
occorrono concetti statistici. Abbiamo utilizzato, a titolo
esemplificativo, un mazzo di 40 carte da gioco. Abbiamo visto
come si possono definire i concetti di macrostato e microstato
per un insieme di N elementi. Abbiamo definito la probabilità
termodinamica Ω di un macrostato come il numero di microstati
che lo realizzano.
Entropia
Abbiamo introdotto una funzione S(Ω) chiamata entropia,
e abbiamo assunto che sia estensiva (additiva per sistemi composti
da sottosistemi) e universale (non dipenda
dal particolare sistema, ma solo dal numero di microstati che
realizzano un microstato). Abbiamo dimostrato che S deve
avere la forma S= C log(Ω), dove C è una costante
universale.
Abbiamo visto che, eguagliando la costante C alla costante di
Boltzmann, la definizione statistica di entropia coincide con la
definizione termodinamica. In questo modo si ottiene un legame tra
le variazioni di entropia per i sistemi "macroscopici" e la
variazione del loro grado di disordine "microscopico".
Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)
Palloncino pieno d'aria scoppia dentro ad un cilindro isolato. Un pistone lo ricomprime al volume iniziale. Calcolo della variazione di entropia del sistema e dell'universo nelle due trasformazioni.
Calcolo della variazione dell'entropia per andare da uno stato A a uno stato B in funzione delle pressioni e volumi iniziali e finali. Calcolo seguendo una adiabatica e una isocora reversibili e verifica con una isobara e una isocora reversibili.
Un recipiente contiene due gas in settori differenti, inizialmente separati adiabaticamente. Date le condizioni iniziali dei due gas isolati si considera prima la rimozione dell'isolamento a volumi fissati e poi la rimozione anche della parete separatrice. Si studia l'irreversibilità del processo di termalizzazione e di mescolamento
Un blocco di ghiaccio a 0 gradi Celsius viene posto in contatto termico con una lastra di ferro a 50 gradi. Calcolo della variazione dell'entropia dei due sistemi e dell'universo.
Entropia
Abbiamo ripreso la definizione statistica dell'entropia, discutendo
più in dettaglio alcuni passaggi della derivazione.
Abbiamo approfondito il legame tra entropia e disordine, e tra
entropia. Abbiamo parlato del problema del conteggio dei microstati in
fisica classica, legato alla determinazione della costante additiva
dell'entropia e al terzo principio della termodinamica. Abbiamo
accennato al diavoletto Maxwell e al problema della
distinguibilità delle particelle.
Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)
Un gas ideale monatomico esegue un ciclo formato da due trasformazioni isobare reversibili e due isocore irreversibili. Determinare il lavoro nel ciclo, il calore scambiato nei vari tratti, il rendimento del ciclo e la variazione di entropia dell'universo.
Studio di un ipotetico gas con U=aT2 e PV=bT2. Dimostrazione che tale gas non esiste mostrando che il rendimento di una macchina di Carnot con tale gas sarebbe maggiore di quello ottenibile con un gas ideale.
Calcolo del massimo lavoro ottenibile da una macchina termica che utilizza due sorgenti di calore, un blocco di ghiaccio di 3 kg a 273 K e un termostato a 300 K.
Due macchine di Carnot operano tra gli stessi stati estremi, ma una con un gas ideale monoatomico e l'altra con un gas ideale biatomico. A parità di moli si dimostra che quella con il gas monoatomico produce più lavoro.
Un gas è mantenuto compresso in una metà di un cilindro isolato da un pistone su cui preme una molla. Un piccolo foro permette poi la diffusione del gas nel resto del cilindro. Si calcola la variazione di energia interna e dell'entropia.
Entropia
Abbiamo completato la discussione sul concetto di entropia, discutendo ancora
il problema della freccia del tempo e il legame tra visione meccanica e
termodinamica dei sistemi di particelle.
Gas reali
Abbiamo descritto le isoterme di un gas reale nel diagramma P-V,
discutendo le deviazioni rispetto alle isoterme del gas ideale e
parlando della transizione di fase liquido-vapore. Abbiamo
introdotto il modello di Van der Waals per un
gas reale in cui si tiene conto del "covolume" delle
molecole e dell'attrazione a lungo raggio tra le
stesse. Abbiamo visto come sono fatte le isoterme del
gas di Van der Waals: per temperature alte approssimano
il comportamento del gas ideale; per temperature al di
sotto di una temperatura critica descrivono qualitativamente
il passaggio di stato liquido-vapore.
Abbiamo mostrato come i parametri empirici dell'equazione di
stato sono legati alla pressione
e al volume del punto critico di un gas. Abbiamo visto che
l'energia interna del gas dipende, oltre che dalla
temperatura T anche dal volume molare. In una espansione
libera adiabatica questo comporta una riduzione della
temperatura del gas.
Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)
Un blocco di un materiale sconosciuto, viene messo in un forno di potenza nota per un intervallo di tempo noto. Conoscendo l'andamento del calore specifico nella fase solida e liquida del materiale, si determina la sua temperatura di fusione e la temperatura finale raggiunta.
Una bombola di volume V contiene un gas a pressione e temperatura note. Essa è contenuta in un recipiente adiabatico di volume 5 volte maggiore. La bombola scoppia e il gas espande liberamente, poi viene ricompresso rapidamente fino a raggiungere la pressione iniziale. Infine con un termostato viene riportato allo stato iniziale. Studio della variazione dell'entropia nelle varie trasformazioni irreversibili.
Un gas contenuto in un recipiente di volume fissato viene portato da 20 a 80 gradi Celsius in tre modi diversi: A) immergendolo in acqua a 20 gradi e alzando lentamente la temperatura dell'acqua fino a 80 gradi; B) immergendolo direttamente in acqua a 80 gradi; C) immergendolo prima in acqua a 50 gradi e poi a 80. Calcolo della variazione dell'entropia dell'universo nei vari casi.
Un sistema composto da ghiaccio a T=0 gradi Celsius e da un gas perfetto sono contenuti in un cilindro con pistone mobile, isolato dall'ambiente esterno. Si determina l'andamento della pressione del gas in funzione del volume comprimendolo fino ad alzare la temperatura da 0 a 20 gradi.
Percorso di approfondimento
Abbiamo parlato del concetto di energia dall'antica Grecia alla
fisica moderna.
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Fluidi
Abbiamo elencato alcune proprietà che caratterizzano
una sostanza fluida. Abbiamo parlato di densità di particelle,
densità di massa e campo di velocità in un
mezzo continuo e abbiamo discusso le condizioni affinché
un sistema di N particelle possa essere trattato come un continuo.
Abbiamo parlato di sforzi di taglio e di pressioni e abbiamo
detto che un fluido in equilibrio non risponde a sforzi di
taglio. Abbiamo definito la viscosità per un fluido
in movimento rispetto ad altri corpi. Un fluido perfetto è
non viscoso. Abbiamo definito la compressibilità del
sistema e abbiamo distinto fluidi a grande compressibilità
(tipicamente gas) e fluidi a piccola compressibilità
(tipicamente liquidi).
Statica dei fluidi
Abbiamo discusso le condizioni
per l'equilibrio di un fluido sfruttando i principi della
meccanica newtoniana e scritto le corrispondenti equazioni.
Nel caso della forza di gravità applicata ad un fluido
incomprimibile (densità uniforme) abbiamo visto che
si ottiene la legge di Stevino per la pressione
idrostatica.
Abbiamo applicato le condizioni di equilibrio
statico in un campo di gravità uniforme anche al caso
dell'atmosfera, vista come un gas che obbedisce ad un'equazione
di stato tale per cui la densità è direttamente
proporzionale alla pressione. In questo modo abbiamo ottenuto
il profilo di pressione dell'atmosfera in funzione della quota.
Abbiamo accennato al funzionamento degli altimetri.
Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)
Sbarra conduttrice inizialmente in condizioni di non equilibrio termico, a contatto con due termostati a temperature diverse. Calcolo della variazione di entropia tra tale configurazione e quella all'equilibrio.
Conduzione di calore in regime stazionario. Una stufa con efficienza e potere di combustione noti mantiene costante la temperatura in una stanza. Si ha una perdita di calore da una finestra di conducibilità e dimensioni note. Data la temperatura esterna, calcolare la massa di carbone che vine utilizzata al giorno.
Un recipiente adiabatico contiene tre gas con proprietà differenti in tre settori inizialmente separati. Si determina la temperatura finale dopo la rimozione dei setti separatori e la variazione di entropia dell'universo.
Un gas di coordinate termodinamiche note è contenuto in un cilindro adiabatico con un pistone mobile senza attrito connesso a una molla. Viene introdotto del calore mediante una resistenza tale da far aumentare il volume del gas del 50%. Calcolare i nuovi parametri termodinamici, il calore fornito e la variazione di entropia del gas.
Percorso di approfondimento
Abbiamo parlato del concetto di vero e falso nella scienza (e oltre).
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Statica dei fluidi
Abbiamo visto che per un fluido in un campo
esterno conservativo le superfici isobariche coincidono
con le superfici equipotenziali e abbiamo discusso alcuni esempi:
profilo degli oceani, incluso l'effetto di rotazione della terra,
superficie dell'acqua in un secchio in accelerazione o rotazione.
Spinta di Archimede
Abbiamo definito la spinta di Archimede, discutendone le evidenze
empiriche e la giustificazione teorica. Abbiamo parlato delle
condizioni di galleggiamento dei corpi.
Dinamica dei fluidi
Abbiamo brevemente accennato alla dinamica di un fluido
in generale, distinguendo il regime laminare dal regime
turbolento. Abbiamo scritto l'espressione del teorema di
Bernoulli per un fluido incomprimibile e non
viscoso, in regime stazionario e con flusso laminare:
la densità di energia, definita
come la somma dell'energa meccanica per unità di volume
e della pressione locale del fluido, è
costante e uniforme. Abbiamo visto due esempi di applicazioni:
l'effetto Venturi e il tubo di Pitot.
Percorso di approfondimento
Abbiamo fatto un riepilogo degli argomenti trattati nel PAF e
concordato le modalità d'esame. Abbiamo discusso alcuni
esempi di problemi epistemologici e di possibili approcci alla
filosofia della scienza.
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