• Febbraio: 19, 23, 26.
• Marzo: 1, 4, 8, 11, 15, 18, 22.
• Aprile: 1, 5, 8, 12, 15, 19, 22, 26, 29.
• Maggio: 3, 6, 10, 13, 17, 20, 24, 27.

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Oscillatori
Abbiamo riscritto l'equazione del moto per una particella soggetta ad una forza elastica. Abbiamo poi considerato il caso di un oscillatore soggetto ad una forza di attrito proporzionale alla velocità (oscillatore smorzato). Abbiamo visto che, per piccolo smorzamento, le soluzioni dell'equazione del moto sono funzioni sinusoidali con ampiezza che decresce esponenzialmente nel tempo. Abbiamo fatto un cenno anche al caso di smorzamento critico e di moto sovrasmorzato.

Oscillatore forzato e smorzato
Abbiamo ricavato la soluzione dell'equazione del moto di un oscillatore forzato e smorzato, come somma di una soluzione transiente e una soluzione periodica avente la stessa frequenza della forzante. L'ampiezza dell'oscillazione e lo sfasamento rispetto alla forzante dipendono dalla frequenza di quest'ultima in modo interessante: si ottiene un massimo di ampiezza quando la frequenza della forzante è prossima alla frequenza propria dell'oscillatore, cioè quella che avrebbe in assenza di forzante e di smorzamento. Questo effetto si chiama risonanza.

Risonanza
Abbiamo studiato lo sfasamento in funzione della frequenza e abbiamo visto che, alla risonanza, l'oscillazione è sfasata di pi/2 rispetto alla forzante. Abbiamo calcolato la potenza media (lavoro fatto dalla forzante nell'unità di tempo, mediato su un periodo di oscillazione) e abbiamo visto che ha un massimo alla risonanza. Abbiamo descritto la curva di Lorentz e abbiamo definito il fattore di qualità Q del risonatore e la larghezza di banda.

Oscillatori accoppiati
Abbiamo considerato un sistema costituito da due oscillatori meccanici collegati da una molla (due masse e tre molle, di cui due vincolate agli estremi). Abbiamo scritto le equazioni del moto, che costituiscono un sistema di due equazioni differenziali accoppiate, lineari. Abbiamo calcolato i modi normali, corrispondenti ad oscillazioni in fase e in controfase. Abbiamo scritto la soluzione generale e abbiamo trattato esplicitamente il caso in cui viene inizialmente eccitato un oscillatore.

Oscillatori accoppiati
Abbiamo concluso il ragionamento sui due oscillatori accoppiati con molle ugualiesaminando meglio il battimento che si ottiene eccitando inizialmente uno dei due. Abbiamo discusso il comportamento dell'energia meccanica.

Equazione delle onde
Abbiamo visto come si tratta formalmente il passaggio da una catena di N oscillatori discreti ad un continuo, come nel caso di una corda elastica che ammette deformazioni longitudinali e/o trasverse. Abbiamo visto come si può rappresentare in forma matematica una "deformazione" che si propaga nel tempo con velocità assegnata: in 1D deve essere una funzione di (x-vt). Tali funzioni sono soluzioni di un'equazione nota come equazione delle onde. Soluzioni di questo tipo sono le funzioni che rappresentano le onde, periodiche sia nello spazio che nel tempo. Abbiamo definito il vettore d'onda, la lunghezza d'onda, la pulsazione, il periodo, la velocità di fase.

Onde stazionarie e modi normali di una corda
L'equazione delle onde è lineare: combinazioni lineari di soluzioni sono anch'esse soluzioni. Possiamo trattare in questo modo i casi di onde sovrapposte. Abbiamo visto il caso dell'interferenza tra due onde che hanno uguale lunghezza d'onda e periodo, ma velocit\`a opposta; in tal caso si hanno oscillazioni stazionarie corrispondenti ai modi normali di oscillazione di una corda (fondamentale e armoniche). Abbiamo discusso l'esempio della chitarra.

Percorso di approfondimento: oscillatori accoppiati e matrici
Abbiamo visto come si trattano gli oscillatori usando il formalismo dell'algebra lineare e delle matrici. Abbiamo calcolato autovalori e autovettori (modi normali) per le oscillazioni di 2 masse accoppiate tra loro da molle. Abbiamo discusso e osservato il caso di due pendoli debolmente accoppiati. [appunti disponibili in pdf]

Interferenza
Abbiamo visto l'interferenza tra due onde che hanno uguale lunghezza d'onda e periodo, ma fase diversa. Abbiamo accennato al battimento di due onde che hanno pulsazioni e lunghezze d'onda diverse di poco e l'onda stazionaria che si genera sommando un'onda incidente e un'onda riflessa.

Introduzione alla termodinamica
Sistemi termodinamici e grandezze macroscopiche: volume, densità, pressione, temperatura. Definizione di pressione, strumenti di misura e unità. Equilibrio termico. Principio zero della termodinamica (proprietà transitiva dell'equilibrio termico). Punti fissi. Esempi: punto del ghiaccio, punto del vapore, punto triplo dell'acqua.

Termometri
Caratteristiche termometriche e termometri. Termometri a dilatazione. Scala Celsius.

Termometri
Descrizione e funzionamento di un termometro a gas. Definizione di temperatura tramite termometri a gas. Abbiamo visto cosa succede empiricamente quando i termometri a gas vengono utilizzati con gas rarefatti. Si ottiene un comportamento universale e una scala di temperature che non dipende dal tipo di gas.

Gas ideale (o gas perfetto)
I gas rarefatti obbediscono ad una semplice relazione tra pressione, volume e temperatura: PV=nRθ (equazione di stato del gas ideale), dove R è detta costante universale dei gas e n è la quantità di gas espressa in moli.

Percorso di approfondimento: oscillatori accoppiati e onde
Abbiamo rivisto quali sono i modi normali di tre oscillatori accoppiati (masse uguali e molle identiche). Poi abbiamo considerato una catena infinita di oscillatori, passando da elementi discreti al continuo. Abbiamo visto come si può ricavare l'equazione delle onde e abbiamo discusso i modi normali di vibrazione di una corda elastica di di lunghezza assegnata, fissa agli estremi. [appunti disponibili in pdf]

Equilibrio termodinamico
Quando un sistema è in equilibrio termico, meccanico e chimico, allora si dice che è in equilibrio termodinamico. Il suo stato è completamente determinato da un insieme di coordinate termodinamiche (macroscopiche), quali la temperatura, il volume, la pressione, la concentrazione, ecc.. Abbiamo definito i sistemi idrostatici, come i sistemi i cui stati sono determinati soltanto da pressione, volume e temperatura.

Trasformazioni termodinamiche
Il passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro si chiama trasformazione termodinamica. La trasformazione può avvenire in modi diversi. Una classe di trasformazioni importanti sono quelle quasistatiche, cioè quelle che avvengono in modo tale che il sistema si trovi sempre in stati prossimi all'equilibrio. Tali trasformazioni sono rappresentate da linee nei diagrammi P-V o P-t, o simili diagrammi di stato. Abbiamo visto gi esempi delle trasformazioni quasistatiche isoterme e isocore di un gas in un diagramma P-V.

Calore
Abbiamo visto che una trasformazione termodinamica può coinvolgere scambi di calore e/o lavoro meccanico. Abbiamo dato una definizione empirica di calore, sulla base dell'effetto del contatto termico tra sistemi a temperatura diversa. Abbiamo definito la caloria, la capacità termica e il calore specifico. Abbiamo discusso il funzionamento dei calorimetri.

Equivalente meccanico del calore
Abbiamo visto esempi di procedure per compiere lavoro su un sistema termodinamico. Abbiamo mostrato che lavoro e calore possono avere effetti equivalenti e che, quindi, si può scrivere una relazione quantitativa tra l'unità di calore (caloria) e l'unità di lavoro (joule).

Transizioni di fase e calore latente
Abbiamo definito i calori latenti associati a transizioni di fase come la fusione e la vaporizzazione di una sostanza.

Lavoro adiabatico e energia interna
Gli esperimenti mostrano che in ogni trasformazione termodinamica effettuata con soli mezzi adiabatici (nessun contatto termico tra il sistema e l'ambiente) il lavoro compiuto non dipende dal tipo di trasformazione ma solo dagli stati iniziale e finale (di equilibrio). Si può allora definire una funzione delle coordinate termodinamiche, U, tale che la sua variazione in una trasformazione generica tra due stati di equilibrio sia proprio il lavoro compiuto in una qualsiasi trasformazione adiabatica che li collega (lavoro adiabatico). Tale funzione si chiama energia interna. La convenzione sul segno è scelta in modo che un lavoro positivo fatto dal sistema sull'ambiente corrisponde ad una diminuzione di energia interna del sistema.

Primo principio della termodinamica
In una trasformazione non adiabatica, in cui sono ammessi contatti termici tra il sistema e l'ambiente, il lavoro compiuto per passare da uno stato iniziale ad uno stato finale è generalmente diverso dal lavoro adiabatico. La differenza è associata a processi non meccanici dovuti al contatto termico. Si può definire come calore, Q, la differenza tra il lavoro compiuto dal sistema nella trasformazione, W, e il lavoro che si otterrebbe connettendo gli stessi stati con una trasformazione adiabatica. Dato che quest'ultimo è pari alla variazione di energia interna (con il segno meno), si può scrivere Q = W + ΔU, ovvero ΔU = Q - W. Questo è noto come primo principio della termodinamica.

Commenti al primo principio della termodinamica
Abbiamo discusso il significato fisico del primo principio. La definizione di calore data come differenza tra lavoro e lavoro adiabatico risulta essere consistente con la definizione empirica basata sul concetto di caloria. Il primo principio, in sintesi, sancisce l'esistenza dell'energia interna di un sistema termodinamico e la sua relazione con il lavoro meccanico eseguito e il calore scambiato in una trasformazione. Abbiamo discusso il significato di calore, lavoro, energia in trasformazioni termodinamiche. Abbiamo parlato di trasformazioni cicliche. Abbiamo parlato del moto perpetuo. Abbiamo scritto il primo principio per trasformazioni infinitesime. Abbiamo visto che la variazione infinitesima di energia interna è un differenziale esatto, esprimibile tramite le derivate parziali rispetto alle coordinate termodinamiche. Abbiamo scritto l'espressione del lavoro per sistemi idrostatici (dW=PdV).

Sul primo principio si veda anche questa breve sintesi.

Percorso di approfondimento: oscillatori accoppiati e matrici
Abbiamo discusso le deformazioni di una corda elastica fissata agli estremi utizzando il formalismo delle serie di Fourier. [appunti disponibili in pdf]

Gasi ideali: U dipende solo dalla temperatura
Gli esperimenti mostrano che se un gas rarefatto viene fatto espandere liberamente (senza lavoro meccanico) e adiabaticamente (senza scambi di calore) tra due stati di equilibrio, la temperatura del gas non cambia. Questo implica che l'energia interna del gas dipende solo dalla temperatura. Abbiamo definito un gas ideale proprio come un gas che gode di questa proprietà e che soddisfa l'equazione di stato PV=nRθ.

Calori specifici di un gas ideale
Il calore specifico a volume costante di un gas ideale può essere calcolato tramite la derivata dell'energia interna rispetto alla temperatura (non occorre specificare se tenendo costante il volume o la pressione, dato che U dipende solo da θ). Allora il primo principio della termodinamica può essere riscritto nella forma δQ = nc_vdθ+PdV. Abbiamo definito il calore specifico a pressione costante e abbiamo mostrato che c_p=c_v+R. Abbiamo dato una spiegazione qualitativa del perchè c_p è maggiore di c_v, usando l'esempio di un gas in un cilindro con pistone, a cui viene fornito un certo calore Q a volume costante o a pressione costante.

Trasformazioni quasistatiche per un gas ideale
Abbiamo cominciato a parlare di trasformazioni quasistatiche di un gas ideale, trattando i casi delle trasformazioni isoterme e di quelle isobare. Abbiamo tracciato il diagramma P-V e calcolato il lavoro svolto dal gas, il calore assorbito e la variazione di energia interna.

Trasformazioni quasistatiche di un gas ideale
Abbiamo visto quali sono le proprietà delle trasformazioni quasistatiche isocora e adiabatica di un gas ideale. Abbiamo parlato di trasformazioni cicliche.

Ciclo di Carnot e macchine termiche
Abbiamo discusso il ciclo di Carnot per un gas ideale, composto da due isoterme e due adiabatiche quasistatiche. Abbiamo visto che il ciclo è un esempio di macchina termica che produce lavoro a spese del calore estratto da una sorgente (termostato). Un secondo termostato, a temperatura più bassa serve a scaricare il calore che risulta dalla differenza tra il calore assorbito dalla sorgente calda e il lavoro compiuto dal sistema nel ciclo. Abbiamo definito il rendimento di una generica macchina termica e abbiamo impostato il calcolo del rendimento del ciclo di Carnot.

Percorso di approfondimento: oscillatori lineari e non-lineari
Abbiamo continuato la discussione delle deformazioni di una corda elastica fissata agli estremi utizzando il formalismo delle serie di Fourier. Abbiamo parlato della dinamica di pacchetti d'onda in sistemi non-dispersivi e dispersivi. Abbiamo cominciato a parlare di sistemi non-lineari facendo l'esempio degli oscillatori con accoppiamento anarmonico, rappresentati dal modello di Fermi-Pasta-Ulam. Abbiamo parlato di solitoni.

Rendimento del ciclo di Carnot per un gas ideale
Abbiamo calcolato esplicitamente per il ciclo di Carnot, trovando che esso dipende solo dal rapporto tra le temperature dei due termostati che scambiano calore con il sistema nei tratti isotermi. Abbiamo visto altri esempi di processi basati su trasformazioni cicliche, come il ciclo Stirling e il ciclo Diesel.

Secondo principio della termodinamica (Kelvin-Planck)
Abbiamo parlato in generale dei processi che trasformano calore in lavoro e viceversa. Gli esperimenti mostrano che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di assorbire una certa quantità di calore da un serbatoio e di convertirlo completamente in lavoro. Questa affermazione corrisponde al secondo principio della termodinamica, nella forma nota come enunciato di Kelvin-Planck e implica, tra l'altro l'impossibilità di realizzare il moto perpetuo di seconda specie.

Macchine frigorifere
Abbiamo visto come sia possibile realizzare trasformazioni cicliche in cui una certa quantità di calore viene prelevata da una sorgente fredda, tramite un lavoro fatto dall'ambiente sul sistema. Una quantità di calore pari alla somma del lavoro compiuto e del calore estratto dalla sorgente fredda viene ceduto ad una sorgente calda. Una trasformazione di questo tipo corrisponde ad una macchina frigorifera.

Secondo principio della termodinamica (Clausius)
Gli esperimenti mostrano che non è possibile realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico risultato sia quello di far passare del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo. Questa affermazione è nota come enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica.

Secondo principio, equivalenza degli enunciati
Abbiamo dimostrato l'equivalenza dei due enunciati, di Kelvin-Planck e di Clausius, del secondo principio, mostrando che se l'uno è falso anche l'altro lo è.

Irreversibilità e secondo principio
Abbiamo definito il concetto di trasformazione reversibile e irreversibile, e abbiamo discusso alcuni esempi di irreversibilità meccanica interna, irreversibilità termica e chimica. Il secondo principio può essere usato per dimostrare l'irreversibilità di tutti i processi reali. I processi reversibili possono essere immaginati come limite ideale di processi reali, in cui le trasformazioni avvengono in modo quasistatico e senza dissipazioni.

Macchine termiche operanti tra due termostati. Teorema di Carnot
Usando il secondo principio abbiamo dimostrato che nessuna macchina termica operante tra due termostati ha un rendimento maggiore di una qualsiasi macchina termica reversibile operante tra gli stessi termostati. Abbiamo anche dimostrato che tutte le macchine reversibili, operanti tra gli stessi termostati, hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dal sistema termodinamico con cui operano.

Temperatura assoluta
L'uguaglianza del rendimento delle macchine termiche permette di definire una nuova scala di temperatura (assoluta), basata operativamente sulla misura del rapporto dei calori scambiati da una macchina termica reversibile con i termostati. Abbiamo visto che, con una opportuna scelta del punto fisso della scala (T=273.16 K al punto triplo dell'acqua), la nuova scala coincide con la scala dei termometri a gas, laddove questi funzionano. Abbiamo discusso il significato di T=0 sulla base del II principio e considerando il coefficiente di prestazione dei frigoriferi nel limite di T che tende a 0.

Percorso di approfondimento: dinamica non-lineare e caos
Abbiamo ripreso il modello di Fermi-Pasta-Ulam. Abbiamo parlato dell'equazione di Korteweg-de Vries e delle soluzioni solitoniche, accennando al problema dell'ergodicità o integrabilità dei modelli. Abbiamo introdotto il caos, inteso come estrema sensibilità alle condizioni iniziali e abbiamo parlato del modello di Lorenz. Abbiamo accennato agli esponenti di Lyapunov e come questi siano legati all'impossibilità di predire il comportamento a lungo termine in un sistema caotico. Abbiamo osservato il comportamento di un pendolo doppio.

Teorema di Clausius
Dal secondo principio della termodinamica e dalla definizione di temperatura assoluta segue che, nel caso di macchine termiche operanti tra due serbatoi a temperature Tf e Tc, la somma (Qf/Tf)+(Qc/Tc) è sempre minore o uguale a zero; è uguale a zero per macchine reversibili. Abbiamo visto che questo risultato è generalizzabile al caso di macchine che operano con N serbatoi, con N qualsiasi. L'abbiamo dimostrato usando un serbatoio ausiliario e N macchine di Carnot reversibili ausiliarie. Abbiamo visto che la somma algebrica dei Q/T è sempre minore o uguale a zero. Nel caso di infiniti serbatoi, con cui la macchina scambia quantità infinitesime di calore, la somma diventa un integrale di δQ/T. Per macchine reversibili si ha che l'integrale di δQ/T su un ciclo è zero. Questo risultato è noto come teorema di Clausius.

Entropia
Il teorema di Clausius ha come diretta conseguenza che l'integrale di δQ/T lungo una trasformazione reversibile che connette due stati di equilibrio A e B non dipende dal tipo di trasformazione, purché reversibile. Si può allora introdurre una nuova funzione di stato (funzione delle coordinate termodinamiche), detta entropia, in modo tale che la differenza di entropia tra gli stati A e B è uguale all'integrale di δQ/T calcolato lungo una qualsiasi trasformazione reversibile che connetta i due stati.

Entropia di un gas ideale
Sfruttando le espressioni del primo principio della termodinamica per trasformazioni reversibili di un gas ideale, possiamo calcolare, a meno di una costante arbitraria, l'entropia in funzione di T e P, oppure di T e V.

Entropia di un gas ideale
Abbiamo discusso l'esempio di un'espansione libera (adiabatica irreversibile) di un gas ideale inizialmente confinato in un volume V1 e che alla fine occupa un volume V2. Abbiamo calcolato la variazione di entropia, ΔS = nR log(V1/V2) in vari modi.

Commenti sull'entropia
i) Abbiamo commentato il fatto che S è una funzione di stato e che dS è un differenziale esatto. ii) Abbiamo visto che i calori specifici sono esprimibili tramite le derivate parziali di S rispetto alla temperatura, a volume o a pressione costante. iii) Abbiamo visto che S è una grandezza estensiva e additiva, ovvero l'entropia di un sistema è scrivibile come somma dell'entropia dei sottosistemi che lo compongono.

Diagramma T-S
Abbiamo visto che le trasformazioni reversibili sono rappresentabili in diagrammi temperatura-entropia. Abbiamo visto gli esempi delle trasformazioni isoterme, adiabatiche, isocore e isobare, e del ciclo di Carnot.

Legge di aumento dell'entropia
Abbiamo visto che il secondo principio della termodinamica si traduce in una diseguaglianza per le variazioni di entropia: in qualsiasi trasformazione di un sistema isolato la variazione di entropia è positiva o nulla; è nulla se la trasformazione è reversibile. Abbiamo espresso la legge di aumento dell'entropia per l'universo termodinamico, inteso come caso particolare di sistema isolato e abbiamo detto che una diminuzione di entropia locale implica comunque un aumento di entropia dell'universo, tranne nel caso di processi reversibili.

Percorso di approfondimento: dinamica non-lineare e caos
Abbiamo parlato di punti fissi stabili, di attrattori, di bacini di attrazione e abbiamo visto come il comportamento caotico di un sistema possa essere associato alla struttura frattale degli attrattori, o dei bordi dei bacini di attrazione, o di altre osservabili.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Calore specifico e calore latente:
Blocco di metallo a contatto con un blocco di ghiaccio. Studio dell'andamento delle temperature dei due corpi tenendo conto dei vari passaggi di stato.

Trasformazioni termodinamiche dei gas perfetti:
Gas monoatomico contenuto in un cilindro con pistone mobile a contatto con l'aria. Il cilindro ha pareti diatermiche ed è immerso in acqua. Studio di varie trasformazioni quasistatiche del gas (isobara, isocora, isoterma e adiabatica quasistatica).

Legge di aumento dell'entropia: esempi
Abbiamo mostrato alcuni esempi di trasformazioni irreversibili, calcolando la variazione di entropia del sistema, dell'ambiente e dell'universo.

Entropia e degradazione dell'energia
Abbiamo visto che l'aumento di entropia dell'universo in ogni processo fisico è associato ad un certo quantitativo di energia, interna o meccanica, che viene "sprecata" o "degradata". Abbiamo definito l'energia "degradata" a partire dal confronto tra il lavoro eseguito in una trasformazione reversibile e quello eseguito in una trasformazione irreversibile a parità di energia disponibile all'inizio. Abbiamo trovato che questa energia "degradata" è uguale al prodotto della variazione di entropia dell'universo per la temperatura del serbatoio più freddo a disposizione. Abbiamo visto alcuni esempi.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Primo principio della termodinamica.
Contenitore con pareti adiabatiche suddiviso in 3 settori da due pareti tenute separate da una molla. Sono presenti n moli di gas biatomico in ciascuno dei settori laterali. Si determinino i parametri termodinamici all'equilibrio e dopo aver introdotto calore in uno dei due mediante una resistenza.

Cicli termodinamici.
Confronto tra l'efficienza di una macchina di Carnot e una di Stirling. Discussione sulla differenza tra l'uso di 2 o infiniti serbatoi.

Energia libera e potenziali termodinamici
Abbiamo visto che lo stato di equilibrio termodinamico di un sistema isolato è uno stato di massima entropia. Se invece il sistema è in contatto con un serbatoio a temperatura costante T, allora conviene introdurre una nuova funzione termodinamica F=U-TS, detta energia libera di Helmholtz. Si dimostra che in ogni trasformazione il lavoro meccanico massimo ottenibile dal sistema è pari a -ΔF. Se il sistema è anche dinamicamente isolato (non compie lavoro meccanico) allora ogni sua trasformazione diminuisce l'energia libera. Lo stato di equilibrio è lo stato con energia libera minima. Per sistemi a pressione costante si può definire un'altra funzione, l'energia libera di Gibbs, che ha un ruolo simile all'energia libera di Helmholtz. Queste funzioni di stato sono dette potenziali termodinamici.

Teoria cinetica dei gas
Abbiamo considerato un modello per un gas ideale, in cui un grande numero N di particelle puntiformi di uguale massa si muovono senza interagire tra loro e urtando contro le pareti. Abbiamo parlato dell'ipotesi di caos molecolare. Abbiamo interpretato la pressione esercitata dal sistema di particelle sulle pareti come l'effetto di urti. Il modello risulta consistente con l'equazione di stato di un gas ideale se si assume che l'energia cinetica media di ciascuna particella sia proporzionale alla temperatura T.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Stima del rendimento di un motore a benzina (Ciclo Otto) e di un motore Diesel.

Due macchine di Carnot operano tra gli stessi stati estremi, ma una con un gas ideale monoatomico e l'altra con un gas ideale biatomico. A parità di moli si dimostra che quella con il gas monoatomico produce più lavoro.

Studio di un ipotetico gas con U=aT^2 e PV=bT^2. Dimostrazione che tale gas non esiste mostrando che il rendimento di una macchina di Carnot con tale gas sarebbe maggiore di quello ottenibile con un gas ideale.

Calcolo del massimo lavoro ottenibile da una macchina termica che utilizza due sorgenti di calore, un blocco di ghiaccio di 3 kg a 273 K e un termostato a 300 K.

Teoria cinetica dei gas
La teoria cinetica dei gas risulta consistente con l'equazione di stato di un gas ideale se si assume che l'energia cinetica media di ciascuna particella sia uguale a (3/2)kT, dove k è una costante universale, detta costante di Boltzmann. L'energia interna del gas risulta essere la somma delle energie cinetiche di traslazione delle particelle (se sono puntiformi e non hanno altri gradi di libertà oltre a quelli della traslazione), pari a N volte l'energia cinetica media. Quindi U dipende solo da T, come dev'essere, e il calore specifico molare a volume costante, derivata di U rispetto a T per una mole di gas, risulta essere (3/2)R, in accordo con gli esperimenti sui gas monoatomici rarefatti. Abbiamo esaminato il caso di molecole biatomiche che possono ruotare e vibrare. Abbiamo accennato al principio di equipartizione dell'energia. Abbiamo definito la probabilità che una singola particella di un gas ideale abbia modulo della velocità compreso in un intervallo infinitesimo dv intorno al valore v come il prodotto di dv volte una funzione f(v) detta funzione di distribuzione delle velocità e abbiamo scritto la distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Palloncino pieno d'aria scoppia dentro ad un cilindro isolato. Un pistone lo ricomprime al volume iniziale. Calcolo della variazione di entropia del sistema e dell'universo nelle due trasformazioni.

Un recipiente contiene due gas in settori differenti, inizialmente separati adiabaticamente. Date le condizioni iniziali dei due gas isolati si considera prima la rimozione dell'isolamento a volumi fissati e poi la rimozione anche della parete separatrice. Si studia l'irreversibilità del processo di termalizzazione e di mescolamento

Stima della variazione di entropia di un blocco di ghiaccio che fonde completamente.

Un gas ideale monatomico esegue un ciclo formato da due trasformazioni isobare reversibili e due isocore irreversibili. Determinare il lavoro nel ciclo, il calore scambiato nei vari tratti, il rendimento del ciclo e la variazione di entropia dell'universo.

Microstati e macrostati
Abbiamo ripreso lo studio dell'espansione libera di un gas ideale, ricordando il risultato per la variazione di entropia nel caso di un raddoppio di volume: ΔS = nR log2. Ci siamo posti il problema di interpretare questa variazione di entropia sulla base di un modello microscopico del gas. Per fare questo occorrono concetti statistici. Abbiamo utilizzato, a titolo esemplificativo, un mazzo di 40 carte da gioco. Abbiamo visto come si possono definire i concetti di macrostato e microstato per un insieme di N elementi. Abbiamo definito la probabilità termodinamica Ω di un macrostato come il numero di microstati che lo realizzano.

Entropia
Abbiamo introdotto una funzione S(Ω) chiamata entropia, e abbiamo assunto che sia estensiva (additiva per sistemi composti da sottosistemi) e universale (non dipenda dal particolare sistema, ma solo dal numero di microstati che realizzano un microstato). Abbiamo dimostrato che S deve avere la forma S= C log(Ω), dove C è una costante universale. Abbiamo visto che, eguagliando la costante C alla costante di Boltzmann, la definizione statistica di entropia coincide con la definizione termodinamica. In questo modo si ottiene un legame tra le variazioni di entropia per i sistemi "macroscopici" e la variazione del loro grado di disordine "microscopico".

Entropia
Abbiamo ripreso la definizione statistica dell'entropia, approfondendo il legame tra entropia e disordine, e tra entropia. Abbiamo parlato del problema del conteggio dei microstati in fisica classica, legato alla determinazione della costante additiva dell'entropia e al terzo principio della termodinamica. Abbiamo accennato al diavoletto Maxwell e al problema della distinguibilità delle particelle. Abbiamo discusso il problema della freccia del tempo e il legame tra visione meccanica e termodinamica dei sistemi di particelle.

Fluidi
Abbiamo elencato alcune proprietà che caratterizzano una sostanza fluida. Abbiamo parlato di densità di particelle, densità di massa e campo di velocità in un mezzo continuo e abbiamo discusso le condizioni affinché un sistema di N particelle possa essere trattato come un continuo. Abbiamo parlato di sforzi di taglio e di pressioni e abbiamo detto che un fluido in equilibrio non risponde a sforzi di taglio. Abbiamo definito la viscosità per un fluido in movimento rispetto ad altri corpi. Un fluido perfetto è non viscoso. Abbiamo definito la compressibilità del sistema e abbiamo distinto fluidi a grande compressibilità (tipicamente gas) e fluidi a piccola compressibilità (tipicamente liquidi).

Statica dei fluidi
Abbiamo discusso le condizioni per l'equilibrio di un fluido sfruttando i principi della meccanica newtoniana e scritto le corrispondenti equazioni. Nel caso della forza di gravità applicata ad un fluido incomprimibile (densità uniforme) abbiamo visto che si ottiene la legge di Stevino per la pressione idrostatica.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Un gas è mantenuto compresso in una metà di un cilindro isolato da un pistone su cui preme una molla. Un piccolo foro permette poi la diffusione del gas nel resto del cilindro. Si calcola la variazione di energia interna e dell'entropia.

Un blocco di un materiale sconosciuto, viene messo in un forno di potenza nota per un intervallo di tempo noto. Conoscendo l'andamento del calore specifico nella fase solida e liquida del materiale, si determina la sua temperatura di fusione e la temperatura finale raggiunta.

Una bombola di volume V contiene un gas a pressione e temperatura note. Essa è contenuta in un recipiente adiabatico di volume 5 volte maggiore. La bombola scoppia e il gas espande liberamente, poi viene ricompresso rapidamente fino a raggiungere la pressione iniziale. Infine con un termostato viene riportato allo stato iniziale. Studio della variazione dell'entropia nelle varie trasformazioni irreversibili.

Un gas contenuto in un recipiente di volume fissato viene portato da 20 a 80 gradi Celsius in tre modi diversi: A) immergendolo in acqua a 20 gradi e alzando lentamente la temperatura dell'acqua fino a 80 gradi; B) immergendolo direttamente in acqua a 80 gradi; C) immergendolo prima in acqua a 50 gradi e poi a 80. Calcolo della variazione dell'entropia dell'universo nei vari casi.

Statica dei fluidi
Abbiamo applicato le condizioni di equilibrio statico in un campo di gravità uniforme anche al caso dell'atmosfera, vista come un gas che obbedisce ad un'equazione di stato tale per cui la densità è direttamente proporzionale alla pressione. In questo modo abbiamo ottenuto il profilo di pressione dell'atmosfera in funzione della quota. Abbiamo accennato al funzionamento degli altimetri.

Spinta di Archimede
Abbiamo definito la spinta di Archimede, discutendone le evidenze empiriche e la giustificazione teorica. Abbiamo parlato delle condizioni di galleggiamento dei corpi.

Dinamica dei fluidi
Abbiamo brevemente accennato alla dinamica di un fluido in generale, distinguendo il regime laminare dal regime turbolento. Abbiamo scritto l'espressione del teorema di Bernoulli per un fluido incomprimibile e non viscoso, in regime stazionario e con flusso laminare: la densità di energia, definita come la somma dell'energa meccanica per unità di volume e della pressione locale del fluido, è costante e uniforme. Abbiamo accennato alla legge di Navier-Stokes.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Un sistema composto da ghiaccio a T=0 gradi Celsius e da un gas perfetto sono contenuti in un cilindro con pistone mobile, isolato dall'ambiente esterno. Si determina l'andamento della pressione del gas in funzione del volume comprimendolo fino ad alzare la temperatura da 0 a 20 gradi.

In un recipiente adiabatico contenente acqua a 100 gradi C viene immerso un blocco di ghiaccio a -20 grad C. Si determinano le condizioni del sistema all'equilibrio e la variazione di entropia del sistema.

Un recipiente adiabatico contiene tre gas con proprietà differenti in tre settori inizialmente separati. Si determina la temperatura finale dopo la rimozione dei setti separatori e la variazione di entropia dell'universo.

Esercizi
(due ore con Giacomo Lamporesi)

Un gas di coordinate termodinamiche note è contenuto in un cilindro adiabatico con un pistone mobile senza attrito connesso a una molla. Viene introdotto del calore mediante una resistenza tale da far aumentare il volume del gas del 50 percento. Calcolare i nuovi parametri termodinamici, il calore fornito e la variazione di entropia del gas.

Sbarra conduttrice inizialmente in condizioni di non equilibrio termico, a contatto con due termostati a temperature diverse. Calcolo della variazione di entropia tra tale configurazione e quella all'equilibrio assunta dopo aver eliminato il contatto con i termostati.

Conduzione di calore in regime stazionario. Una stufa con efficienza e potere di combustione noti mantiene costante la temperatura in una stanza. Si ha una perdita di calore da una finestra di conducibilità e dimensioni note. Data la temperatura esterna, calcolare la massa di carbone che viene utilizzata al giorno.

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