Introduzione al corso.
Obiettivi, programma, modalità,
testi, ecc.
Forze, potenziali e campi
Il programma newtoniano della meccanica. L'equazione del moto.
Le forze fondamentali. La gravitazione. La legge di gravitazione
universale. Il principio di sovrapposizione. Il concetto di
campo gravitazionale. Le forze gravitazionali sono conservative e
si può introdurre un potenziale gravitazionale. Forma
del campo (vettoriale) gravitazionale e del potenziale (scalare)
gravitazionale generati da una massa.
Forza tra cariche elettriche
La forza gravitazionale non è l'unica. Altre forze
associate a fenomeni elettrici, ad esempio.
Cenno allo sviluppo storico (strofinio,
scariche, pile, ecc.). I fatti sperimentali possono essere
interpretati assumendo che esista una proprietà dei
corpi, chiamata carica elettrica, tale che:
Alcuni commenti:
La scelta del sistema di unità di misura. Il Sistema Internazionale (MKSA razionalizzato) e la definizione di coulomb (C).
Ancora sulle unità di misura.
La carica di un coulomb è grande. Due cariche di un coulomb
poste a un metro di distanza producono forze dell'ordine di 10^10
newton. La carica dell'elettrone è dell'ordine di 10^-19 C.
Elettroni e protoni hanno la stessa carica. La materia è
fondamentalmente neutra.
Il sistema di unità di misura CGS elettrostatico. L'unità
di carica elettrostatica (ues) e la sua relazione con il coulomb (esercizio
di conversione di unità).
Contenuti fisico-empirici e contenuti convenzionali della legge di
Coulomb.
Campo elettrico
Definizione di campo elettrico. Analogie con il campo gravitazionale.
Si tratta di un campo vettoriale (un vettore per ogni punto dello
spazio). Può essere rappresentato graficamente con linee di
forza. Il campo elettrico generato da una carica puntiforme positiva o
negativa. Il campo elettrico generato da più cariche puntiformi.
Il campo generato da una distribuzione continua di cariche con densità
assegnata (carica per unità di volume).
Il campo elettrico generato da due cariche uguali poste ad una distanza
d. Comportamento asintotico. Caso di cariche diverse e analogia con
il campo gravitazionale del sistema terra-luna.
Il campo elettrico generato da due cariche uguali in modulo ma di segno
opposto, poste ad una distanza d (dipolo elettrico). Comportamento
asintotico.
Distribuzioni continue di cariche.
Calcolo del campo generato da un anello uniformemente carico.
Un po' di matematica
Angolo solido. Elemento di superficie. Flusso di un campo
vettoriale.
Flusso del campo elettrico e legge di Gauss
Flusso attraverso una sfera del campo generato da una carica
puntiforme posta nel suo centro. Flusso attraverso una superficie chiusa
qualsiasi del campo generato da una carica interna. Il flusso
del campo generato da cariche esterne è nullo. Legge di Gauss:
il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa
qualsiasi è pari alla carica totale nel volume racchiuso
dalla superficie, divisa per epsilon_0. Commenti sul legame tra
legge di Gauss e legge di Coulomb.
Applicazioni della legge di Gauss
Campo generato da una piastra piana infinita e uniformemente carica.
Applicazioni della legge di Gauss.
Ancora sul campo generato da una lastra piana infinita: il calcolo
del campo a partire dalla Legge di Coulomb è più
complicato del calcolo con la legge di Gauss.
Due piastre parallele con carica uniforme di segno opposto. Il campo
elettrico è non nullo solo tra le piastre.
Campo elettrico generato da un filo infinito uniformemente carico.
Campo elettrico generato da una distribuzione isotropa di cariche.
Equivalenza tra legge di Gauss e legge di Coulomb.
Problema delle cariche puntiformi. Analogia con
il campo gravitazionale. Campo dentro una sfera uniformemente
carica. Campo dentro un guscio sferico. Verifica della legge di
Coulomb con un guscio sferico.
Il potenziale elettrico
Il campo elettrico è conservativo. Si può definire
un potenziale elettrico. Esempio del potenziale dovuto ad una
carica puntiforme.
Potenziale elettrico.
Operatore gradiente. Calcolo della variazione del potenziale per
uno spostamento infinitesimo. Si trova che il campo elettrico è
uguale a meno il gradiente del potenziale. Dunque, data una
distribuzione di cariche si può calcolare il potenziale
ad essa associato e, da questo, calcolare il campo usando l'operatore
gradiente. Oppure, in alternativa, si può calcolare il campo
e, da questo, calcolare il potenziale per mezzo di un'integrazione.
Il potenziale generato da un dipolo elettrico
Definizione di dipolo elettrico. Calcolo del potenziale elettrico
a grande distanza. Calcolo del campo elettrico lungo l'asse del dipolo
e lungo l'asse ortogonale passante per il punto centrale del dipolo,
a partire dall'espressione generale del potenziale.
Potenziale elettrico generato da un filo.
Potenziale elettrico generato da un filo carico di lunghezza finita, lungo
l'asse perpendicolare al filo e passante per il punto medio. Casi
limiti di distanza molto maggiore e molto minore della lunghezza del
filo. Calcolo del campo elettrico dal potenziale e confronto con
il calcolo fatto tramite la legge di Gauss.
Potenziale elettrico generato da un disco
Potenziale elettrico generato da un disco uniformemente carico, lungo
l'asse perpendicolare al disco e passante per il centro. Casi limite
di distanza molto maggiore e molto minore del raggio del disco.
Calcolo del campo elettrico dal potenziale e confronto con il
calcolo fatto tramite la legge di Gauss nel caso della piastra
piana infinita.
Potenziale elettrico generato da due piastre parallele
Calcolo del campo elettrico e del potenziale tra due piastre con
carica distribuita uniformemente e di segno opposto. Differenza
di potenziale tra le piastre.
Unità di misura
Definizione di Volt, unità di potenziale elettrico (1 Volt =
1 Joule/C). Il campo elettrico si può allora misurare in
Volt/m.
Esercizi (esercitatore: Sebastiano Pilati)
Calcolo di campi elettrici e potenziali elettrici per alcune
distribuzioni di carica, discrete e continue.
Gradiente, divergenza, rotore (docente: Marco Traini)
Operatori differenziali per campi scalari e campi vettoriali.
Definizione di gradiente, divergenza, rotore e laplaciano.
Teorema di Stokes e teorema di Gauss. Legge di Gauss in
forma locale. Leggi di Poisson e di Laplace. Rotore del
campo elettrico. Esempi.
Moto di una carica in un campo elettrico
Moto di una carica in un campo elettrico uniforme (analogo
alla caduta dei gravi). Deflessione di un fascio di elettroni.
Accelerazione di elettroni. Definizione di eV (elettronvolt) e
scale tipiche di energia. Esempio del tubo catodico.
Energia elettrostatica
Calcolo del lavoro necessario a realizzare una distribuzione
statica di cariche, discreta o continua. Tale lavoro corrisponde
ad una energia "immagazzinata" nella distribuzione di cariche. Nel
caso di una distribuzione continua l'energia è pari a 1/2
l'integrale di volume della densità di carica moltiplicata,
punto per punto, per il potenziale elettrico associato alla stessa
distribuzione. L'energia elettrostatica è un "numero" che
caratterizza globalmente la distribuzione (non è suddivisibile
in contributi di singoli parti) e non va confusa con il potenziale
elettrico, che invece è una funzione della coordinata
spaziale e che dà informazioni sugli effetti che la distribuzione
di carica produce su un'altra eventuale carica in un dato punto dello
spazio.
Energia elettrostatica
Calcolo dell'energia elettrostatica associata ad una sfera uniformemente
carica. Il calcolo è stato svolto sia integrando il lavoro
necessario a caricare una sequenza di gusci sferici di raggio crescente,
sia integrando il prodotto della densità di carica per il
potenziale elettrico associato alla sfera. Il risultato ovviamente
è lo stesso.
Usando le definizioni di gradiente, divergenza e laplaciano e la
legge di Poisson, abbiamo riscritto l'energia elettrostatica di una
distribuzione continua di carica come l'integrale del modulo
quadro del campo elettrico prodotto dalla distribuzione. Il risultato
è interessante, ma abbiamo messo in luce anche alcuni problemi
che si hanno nel caso di cariche puntiformi.
Conduttori
Un breve cenno alla struttura della materia. Cariche libere di muoversi
in un conduttore. Condizione di equilibrio per le cariche in un conduttore:
il campo elettrico all'interno è nullo; il campo elettrico esterno
è perpendicolare alla superficie; la superficie del conduttore
è una superficie equipotenziale.
Esercizio
Calcolo dell'energia elettrostatica di un guscio sferico carico,
utilizzando diversi metodi (integrazione del modulo quadro del
campo elettrico; calcolo del lavoro per depositare la carica
sul guscio usando il potenziale elettrico).
Conduttori
Conduttori caricati per contatto o per induzione. Conduttori con
cavità. Effetto di schermaggio (gabbia di Faraday). Esempio
della sfera cava. Cariche puntiformi esterne al conduttore o dentro
la cavità di un conduttore.
Effetto dispersivo delle punte
Densità di carica su conduttori sferici tenuti allo stesso
potenziale. La densità è inversamente proporzionale
al raggio. Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore,
essendo proporzionale alla densità di carica,
è maggiore là dove il raggio di curvatura è
minore. Applicazione: parafulmini.
Le soluzioni dell'equazione di Laplace
Dato un generico insieme di conduttori il problema di calcolare
il potenziale e il campo elettrico nello spazio tra questi equivale
a risolvere l'equazione di Laplace per il potenziale elettrico con
condizioni al contorno assegnate. Se si assegnano i valori del potenziale
su tutte le superfici dei conduttori, allora si parla di problema
di Dirichlet; se si assegnano i valori del modulo del campo elettrico
sulle superfici esterene dei conduttori (equivalentemente, delle
derivate del potenziale nella direzione perpendicolare alle
superfici) si parla di problema di Neumann. Per entrambi i casi
esiste un teorema di unicità: la soluzione dell'equazione
di Laplace con condizioni al contorno assegnate è unica.
Il metodo delle cariche immagine
Un'applicazione del teorema di unicità corrisponde al
calcolo del potenziale e del campo elettrico con il metodo
delle cariche immagine. Esempio: carica puntiforme q posta
a distanza h da una lastra conduttrice piana e infinita. Il
potenziale e il campo elettrico nel semispazio esterno alla
piastra e contenente la carica q sono uguali al potenziale
e al campo generati da un dipolo composto dalla stessa carica q e
da una carica -q posta a distanza h dalla superficie
del conduttore ma nel semispazio opposto. Infatti, nel
semispazio esterno al conduttore il problema è
identico e le condizioni al contorno pure (il potenziale
è nullo sulla superficie della piastra e all'infinito).
La carica -q, fittizia, è detta "carica immagine".
Con questo metodo si riesce anche a calcolare la densità
di carica indotta sulla superficie del conduttore e la
forza con cui la carica q è attratta verso la
piastra. Lo stesso metodo può essere applicato anche
ad altre geometrie.
Il metodo variazionale
Dato un insieme di conduttori a potenziale elettrico
assegnato, il potenziale nello spazio tra i conduttori
è soluzione dell'equazione di Laplace. Abbiamo
scritto l'energia elettrostatica come integrale sul volume
del quadrato del gradiente del potenziale (che equivale al modulo
quadro del campo elettrico); abbiamo calcolato l'energia
per un potenziale che differisce dalla soluzione dell'equazione
di Laplace per una funzione f piccola ovunque, e nulla sul
contorno. Abbiamo dimostrato che la variazione al primo
ordine in f dell'energia elettrostatica attorno al valore
corrispondente alla soluzione dell'equazione di Laplace è
nulla. L'energia elettrostatica assume valore minimo per f=0.
Dunque la soluzione dell'equazione di Laplace, assegnate le
condizioni al contorno, corrisponde al potenziale elettrico
che minimizza l'energia elettrostatica. Questa è
una formulazione alternativa dello stesso problema. Suggerisce
l'uso di un metodo variazionale (ricerca di minimo in una
classe di funzioni caratterizzata da un certo numero di parametri
liberi) per ottenere soluzioni approssimate al problema esatto.
Condensatori e capacità
Un condensatore è un sistema costituito da due
conduttori caricati con carica uguale e opposta. La
capacità di un condensatore è data dal
modulo del rapporto tra la carica e la differenza
di potenziale tra i due conduttori (armature del
condensatore). Esempi: conduttore a piastre piane
parallele, condensatore cilindrico, condensatore sferico.
Unità di misura della capacità: Farad.
Condensatori
Calcolo della capacità nel caso di un condensatore piano, un
condensatore cilindrico e un condensatore sferico. Capacità
di una sfera conduttrice di raggio assegnato. Energia immagazzinata
in un condensatore (calcolata integrando il modulo quadro del campo
elettrico tra le armature, oppure dal lavoro necessario a caricare
le armature). Capacità di condensatori in serie e in parallelo.
Esercizio
Esercizio su condensatori piani.
Esercizi sui condensatori
Calcoli con condensatori piani e sferici. Pressione elettrostatica,
Condensatori a capacità variabile.
Sviluppo in multipoli
Abbiamo preso una distribuzione di cariche discreta, che occupa una
regione limitata di spazio, e abbiamo calcolato il potenziale elettrico
a grandi distanze da essa. Il potenziale può essere sviluppato
in termini dell'ordine di (1/r), (1/r)2, (1/r)3,
e così via. Questi contributi sono detti, rispettivamente, di
monopolo, dipolo, quadrupolo, eccetera. Abbiamo espresso i coefficienti
dello sviluppo come opportune somme sulle cariche della distribuzione
e abbiamo anche generalizzato le stesse espressioni al caso di
distribuzioni continue, rimpiazzando le somme con integrali di volume.
Il termine di monopolo è
proporzionale alla carica totale della distribuzione e produce un
potenziale asintorico uguale a quello di una carica puntiforme. Il
termine di dipolo per una distribuzione neutra è dato
dalla carica totale positiva volte il vettore distanza tra i centri
di carica positiva e negativa (il centro di carica è la media
pesata delle posizioni delle cariche, usando le cariche stesse come
pesi). Il momento di quadrupolo invece dà informazioni
sulla deviazione angolare rispetto ad una distribuzione di carica
isotropa. Abbiamo visto esempi di cariche discrete con momento di
dipolo nullo (centri di carica + e - coincidenti) e non nullo (due
cariche +q e -q a distanza d). Abbiamo verificato che una distribuzione
di cariche neutra ed isotropa ha momento di quadrupolo nullo. Abbiamo
visto un esempio di distribuzione di 4 cariche, due + e due -, aventi
momento di quadrupolo non nullo.
Dipoli permanenti e indotti
Le molecole di una sostanza generica possono avere un momento di dipolo
permanente. Un esempio è la molecola dell'acqua. I momenti
di dipolo, se immersi in un campo elettrico esterno, tendono ad
orientarsi lungo il campo. Questo lo abbiamo visto calcolando l'energia
potenziale del dipolo nel campo, che risulta essere pari a meno il prodotto
scalare del dipolo e del campo. L'energia
è minima se i due vettori sono concordi. Questo suggerisce che
le molecole con momento di dipolo permanente avranno la tendenza ad
orientare il proprio dipolo nella direzione del campo, dando luogo
ad un momento di dipolo medio diverso da zero. Questo dipolo medio
contribuirà al campo elettrico totale. Oltre all'orientamento
dei dipoli permanenti, un campo elettrico esterno può indurre
un dipolo in atomi o molecole tramite la deformazione della
loro distribuzione di carica. In questo caso si parla di dipolo indotto.
Con un modello semplice, in cui un atomo è schematizzato da
una carica positiva puntiforme e una carica negativa diffusa in
modo uniforme in una sfera, abbiamo visto che il momento di dipolo
indotto è direttamente proporzionale al campo esterno. Il
coefficiente di proporzionalità è detto
polarizzabilità (atomica o molecolare).
Dielettrici
I dielettrici sono materiali non conduttori che possono essere polarizzati
da un campo elettrico. Abbiamo definito la densità di polarizzazione
P e abbiamo accennato alla differenza tra dielettrici normali (omogenei,
isotropi, lineari) e dielettrici non omogenei, non lineari e non isotropi (per
questi ultimi si introduce il tensore polarizzabilità).
Campo elettrico dovuto ad un dielettrico normale polarizzato
Abbiamo considerato un cilindretto di dielettrico polarizzato, con
P parallelo all'asse del cilindro, e abbiamo
calcolato il potenziale elettrico in un punto esterno. Abbiamo trovato
che il potenziale è lo stesso che si avrebbe per due superfici
cariche ai due estremi di un cilindro vuoto, con densità
superficiale di carica +/- P. Lo stesso vale anche per un dielettrico
di forma generica con due facce piane parallele: sia il potenziale
che il campo all'esterno sono identici a quelli dovuti a due piastre
di carica opposta e densità superficiale P. Dato che il campo
elettrico è conservativo, la differenza di potenziale ottenuta
integrando il campo su un percorso esterno al dielettrico deve essere
uguale a quella calcolata integrando su un percorso interno tra gli
stessi punti. Questo suggerisce che l'integrale del campo vero (microscopico,
fortemente fluttuante) all'interno del dielettrico possa essere
rimpiazzato dall'integrale di un campo "medio" nel dielettrico, tolte
le fluttuazioni su scala microscopica, in modo che la differenza
di potenziale sul percorso sia la stessa. Il campo medio così
definito dovrà essere uguale a quello generato dalle due
piastre parallele con la carica di polarizzazione sulla superficie.
In presenza di un campo dovuto a cariche ("libere") diverse da quelle
del dielettrico il campo totale E sarà la
somma di tale campo e di quello dovuto alle cariche di "polarizzazione".
Nel caso di superfici piane e parallele, con P perpendicolare alle
superfici stesse, il campo E risulta dunque proporzionale alla differenza
tra la densità superficiale di cariche libere e la
polarizzazione P. La differenza di potenziale tra le piastre di
un condensatore piano riempito di dielettrico risulterà
quindi diminuita rispetto a quella con condensatore vuoto. La
capacità del condensatore con dielettrico sarà
conseguentemente maggiore.
Costante dielettrica relativa
Il rapporto tra la capacità di un condensatore con dielettrico
normale e dello stesso condensatore vuoto è detta costante
dielettrica relativa. Si tratta di una costante empirica tabulata
per le varie sostanze. Abbiamo ricavato la relazione tra la costante
dielettrica relativa e la densità di polarizzazione P, tramite
l'espressione del campo elettrico in un dielettrico con facce piane
parallele. La densità di polarizzazione risulta proporzionale
al campo elettrico, con costante di proporzionalità pari al
prodotto della costante dielettrica del vuoto (epsilon_0) e della
suscettività elettrica, a sua volta definita come (epsilon_r
-1) se epsilon_r è la costante dielettrica relativa. Dato che
nei dielettrici la costante dielettrica relativa è maggiore
di 1 e che la polarizzazione P produce un campo che, all'interno
del dielettrico, si oppone a quello prodotto dalle cariche libere,
risulta che il campo elettrico complessivo generato da cariche libere
o conduttori immersi in un dielettrico è indebolito rispetto
a quello nel vuoto per un fattore (1/epsilon_r).
Carica di polarizzazione e analogo della legge di Gauss in forma locale
Assegnato un dielettrico normale, con una data suscettività, abbiamo
visto come si possa definire una carica di polarizzazione che renda
conto della densità di carica superficiale prodotta dalla
polarizzazione del mezzo. Nel caso di volumi interni al dielettrico
si può legare la densità di carica di polarizzazione
al comportamento della polarizzazione. In particolare, se la polarizzazione
non è uniforme del dielettrico, abbiamo mostrato che la
densità di carica di polarizzazione è pari a meno la divergenza
della densità di polarizzazione P. Usando la legge di Gauss
locale per il campo E e la relazione empirica tra E e
P, si può riscrivere la legge di Gauss includendo il
contributo delle cariche di polarizzazione. Questo permette di
risolvere il problema della determinazione del campo, e del
corrispondente potenziale, associato a distribuzioni generiche di
cariche "libere" e di dielettrici. Per ragioni storiche (e, a volte,
pratiche) si può introdurre un vettore D, detto
"spostamento elettrico" o "induzione elettrica", definito come la
somma di P e di epsilon_0 volte E. La divergenza
di D risulta uguale alla densità di cariche libere.
Legame tra la visione macroscopica (suscettività) e quella
microscopica (polarizzabilità)
Il legame tra ciò che avviene su scala atomica (polarizzazione
di singoli atomi/molecole) e ciò che avviene su scala
macroscopica (polarizzazione) non è banale. Nel primo caso,
come avevamo già visto, si può definire una
polarizzabilità "alpha" come coefficiente di proporzionalità
tra il dipolo indotto sull'atomo/molecola e il campo elettrico che
agisce sull'atomo/molecola. Nel secondo caso si può definire
una suscettività "chi" come coefficiente di proporzionalità
tra la densità di polarizzazione del dielettrico e il campo
elettrico "medio" nel dielettrico (somma del campo dovuto alle
cariche libere più il campo dovuto alle cariche di polarizzazione,
escluse le fluttuazioni locali su scala atomica). Abbiamo visto che nel
caso di un dielettrico gassoso, in cui le singole molecole sono
mediamente distanti l'una dall'altra, l'interazione reciproca tra
i dipoli può essere trascurata e il campo elettrico che
induce la polarizzazione della singola molecola coincide con il campo
medio nel dielettrico. In questo caso, identificando P come il
prodotto della densità di molecole, "n", volte il momento di dipolo
molecolare, si ottiene la relazione chi = n alpha.
La situazione è più complicata nel caso di dielettrici
densi (liquidi e solidi), dove il campo locale che induce la
polarizzazione della singola molecola può essere significativamente
diverso dal campo medio. Un metodo approssimato ma ragionevole per
affrontare il problema consiste nel considerare un "buco"
sferico nel dielettrico. Il principio di sovrapposizione permette di calcolare
il campo al centro del buco dovuto a tutte le cariche tranne le cariche
di polarizzazione della sfera estratta. Il campo nel buco risulta
maggiore di quello medio nel dielettrico, di una quantità pari
a P/(3 epsilon_0). Se immaginiamo di inserire una molecola nel buco,
ci si aspetta, in prima approssimazione, che il suo momento di dipolo
sia proporzionale al campo nel buco dovuto a tutte le altre cariche.
Questa ipotesi porta ad una nuova relazione tra la suscettività
e la polarizzabilità, nota come legge di Clausius-Mossotti.
Tale legge funzione piuttosto bene per dielettrici liquidi e si
riduce all'espressione valida per i gas nel limite di bassa densità
di molecole. In
dielettrici solidi le cose possono essere più complicate
ancora.
Energia elettrostatica in presenza di dielettrici
Abbiamo calcolato l'energia elettrostatica per un condensatore carico,
riempito con un dielettrico normale, integrando sui lavori elementari
compiuti nel processo di carica. L'espressione per l'energia elettrostatica
risulta essere formalmente identica a quella di un condensatore vuoto,
salvo il fatto che la capacità è aumentata di un fattore
pari alla costante dielettrica relativa (maggiore di 1). Abbiamo
visto che la stessa energia può essere scritta come (1/2)
l'integrale del prodotto scalare di D ed E. Come
semplice applicazione abbiamo visto il caso di un condensatore piano,
con armature quadrate di lato L, in cui viene parzialmente inserito un
dielettrico, per una lunghezza x. L'energia elettrostatica, in tal
caso, è una funzione di x e si può anche calcolare la
forza che agisce sul dielettrico, come meno la derivata dell'energia
rispetto a x. Se la derivata è calcolata a carica costante,
la forza è attrattiva: il sistema diminuisce l'energia
inserendo il dielettrico. Se invece si mantiene costante la
differenza di potenziale, la forza è negativa: il dielettrico
tende ad essere espulso dal condensatore.
Esercizi
Abbiamo calcolato E, D, P, e la densità di carica di
polarizzazione, nel caso di un condensatore piano con dielettrico
inserito e nel caso di un dielettrico sferico, con cavità
sferica al centro, e carica Q al centro della cavità stessa.
Esercizi (esercitatore: Sebastiano Pilati)
Esercizi riassuntivi su energia elettrostatica, condensatori,
dielettrici, ecc.