Introduzione al corso.
Obiettivi, contenuti e modalità del corso.
Esperimento di Stern-Gerlach.
Apparati di Stern-Gerlach in sequenza e analogia con la polarizzazione della luce.
Esperimento di Stern-Gerlach.
Interpretazione dell'esperimento in termini di sovrapposizione di stati fisici.
Vettori di stato e operatori.
Definizione di bra e di ket, prodotto interno e norma, operatori lineari, autovettori e autovalori.
Operatori hermitiani, basi ortonormali, rappresentazioni di matrici e vettori.
Abbiamo continuato la discussione delle proprietà degli spazi dei vettori di stato, introducendo il prodotto esterno, gli operatori hermitiani coniugati, la relazione di completezza, le basi ortonormali degli autovettori di operatori hermitiani, la rappresentazione dei vettori come n-ple di numeri e degli
operatori come matrici.
Misura in meccanica quantistica.
Postulato della misura, collasso dei vettori di stato, probabilità di ottenere
un certo esito nella misura di un'osservabile. Valori di aspettazione. Esempio dello spin. Matrici di Pauli.
Osservabili compatibili e incompatibili.
Definizione di osservabili compatibile e incompatibili. Implicazioni nelle misure di diverse osservabili in sequenza. Indeterminazione nella misura di un'osservabile. Relazione di indeterminazione.
Cambiamenti di base.
Operatore U per il cambiamento di base nello spazio dei vettori di stato e sue proprietà.
Spettri continui.
Osservabili con spettro continuo. Esempio della posizione. Proprità degli autostati. Delta di Dirac.
Traslazioni spaziali e osservabile momento. Relazioni di commutazione canonica. Principio di
indeterminazione di Heisenberg. Regola di quantizzazione di Dirac.
Funzioni d'onda.
Definizione di funzione d'onda nello spazio delle coordinate e calcolo del valore di aspettazione di funzioni della posizione.
Funzioni d'onda nello spazio dei momenti.
Valore d'aspettazione di funzioni del momento nella rappresentazione delle coordinate. Rappresentazione del momento come derivata spaziale.
Trasformate di Fourier per il cambiamento di base dalla rappresentazione delle coordinate a quella dei momenti e viceversa. Pacchetti d'onda e loro significato.
Dinamica quantistica.
Come introdurre il tempo in meccanica quantistica non-relativistica.
Operatore di evoluzione temporale. L'operatore hamiltoniano come
generatore delle traslazioni temporali. L'equazione di Schroedinger per l'operatore
di evoluzione temporale e per i vettori di stato.
Dinamica quantistica.
Equazione di Schroedinger nella rappresentazione delle funzioni d'onda. Commenti generali sulla dinamica quantistica.
Determinismo e probabilità. Congetture e postulati.
Relazione tra evoluzione temporale in assenza di misura e collasso della funzione d'onda nella misura; esempio
dell'esperimento di Stern-Gerlach. Soluzione dell'equazione di Schroedinger per l'operarore di evoluzione temporale nei tre casi:
i) H non dipende dal tempo; ii) H dipende dal tempo, ma gli operarori H a tempi diversi commutano tra loro; iii) H dipende dal tempo e gli H a tempi diversi non commutano.
Costanti del moto e stati stazionari.
Osservabili che commutano tra loro e con H. Evoluzione dei loro autostati (stati stazionari) e dei valori di aspettazione.
Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo.
Precessione dello spin.
Precessione di Larmor di un momento magnetico classico. Versione quantistica con lo spin. Calcolo delle probabilità
di trovare valori positivi o negativi per lo spin in una direzione trasversa al campo magnetico in funzione del tempo.
Misura del fattore giromagnetico.
Precessione dello spin.
Abbiamo concluso i ragionamenti sulla precessione dello spin analizzando il significato
delle misure e evidenziando le differenze rispetto al caso di un momento magnetico classico.
Rappresentazione di Heisenberg.
Definizione di operatori nella rappresentazione di Heisenberg.
Equazione del moto. Esempio della particella libera e della particella in un potenziale scalare.
Regola di quantizzazione di Dirac per parentesi di Poisson e commutatori.
Particella in un potenziale scalare.
Equazione del moto di Heisenberg per gli operatori posizione e momento per una particella soggetta ad un
potenziale scalare. Teorema di Ehrenfest e suo significato fisico. Limite classico della meccanica
quantistica
Oscillatore armonico in una dimensione.
Hamiltoniano dell'oscillatore armonico. Operatori a scala e regole di commutazione.
(Lezione alle 8.30-10.30)
Oscillatore armonico in una dimensione.
Calcolo dello spettro dell'oscillatore armonico con il metodo algebrico (operatori e loro regole
di commutazione). Funzioni d'onda degli stati stazionari. Stato fondamentale di minima indeterminazione.
Evoluzione temporale degli operatori e dei valori di aspettazione. Stati coerenti.
Oscillatore armonico in una dimensione.
Ulteriori commenti all'oscillatore armonico. Cenni all'equazione di Schroedinger stazionaria e alle sue soluzioni
analitiche.
Momento angolare.
Definizione di momento angolare quantistico a partire dal suo analogo classico. Regole di commutazione.
Operatori a scala.
Momento angolare.
Calcolo dello spettro del momento angolare con il metodo algebrico, usando gli operatori a scala e
le regole di commutazione. Inizio del ragionamento sul legame tra momento angolare orbitale e rotazioni.
Momento angolare.
Momento angolare e rotazioni. Generatori delle rotazioni infinitesime. Considerazioni sulla
non commutatività delle componenti del momento angolare. Rappresentazione del momento
angolare nello spazio delle funzioni d'onda.
Momento angolare.
Spettro del momento angolare orbitale: condizione imposta dal fatto che le funzioni d'onda sono monodrome.
Autofunzioni del momento angolare e armoniche sferiche.
Particella in un campo centrale.
Moto di una particella in un campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare.
Autostati comuni dell'hamiltoniano e di L2. Equazione di Schroedinger stazionaria e
fattorizzazione delle funzioni d'onda in una parte radiale e nelle armoniche sferiche.
Atomo d'idrogeno.
Equazione di Schroedinger per un elettrone nell'atomo di idrogeno. Limiti asintotici,
sviluppo in serie e formule di ricorrenza. Spettro energetico e degenerazione dei
livelli. Confronto con la vecchia teoria dei quanti. Significato degli orbitali.
Polinomi di Laguerre.
Spin.
Le regole di commutazione degli operatori di spin sono le stesse del momento angolare
orbitale. Lo spettro è lo stesso eccetto che sono ammessi anche gli autovalori
seminteri. La rotazione associata agli operatori di spin è una rotazione nello
spazio dei vettori di stato di spin e non nello spazio euclideo. Abbiamo definito
il prodotto diretto (o tensoriale) di spazi di Hilbert. Abbiamo parlato di addizione di
momenti angolari, orbitali o di spin.
Addizione di momenti angolari.
Momento angolare totale. Esempi di hamiltoniane per cui i momenti angolari singolarmente non
sono costanti del moto ma la loro somma sì: una particella con interazione di
spin-orbita e due particelle interagenti tra loro con un potenziale che dipende dalla distanza
relativa. Spettro del momento angolare. Esempio di due particelle con spin 1/2. Caso generale e
coefficienti di Clebsch-Gordan.
Metodi approssimati.
Premessa sui vantaggi e svantaggi delle soluzioni analitiche, numeriche e approssimate nella
descrizione dei sistemi fisici, classici e quantistici.
Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Sviluppo perturbativo dell'energia e degli autostati dell'hamiltoniano, con spettro
non degenere. Esempio di un sistema a due livelli di cui è nota la soluzione
esatta. Calcolo delle correzioni perturbative in forma generale. Espressioni
esplicite per le correzioni all'energia e agli stati al primo e al secondo ordine
perturbativo.
Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Esempio di applicazione della teoria perturbativa: oscillatore armonico con
perturbazione lineare, quadratica e cubica.
Perturbazioni indipendenti dal tempo: spettro degenere.
Applicazione della teoria perturbativa a stati che appartengono a sottospazi di
stati degeneri dello spettro del'hamiltoniano imperturbato.
Perturbazioni indipendenti dal tempo: spettro degenere.
Calcolo delle correzioni perturbative per stati degeneri. Esempio della particella
confinata in una buca cubica tridimensionale. Rimozione della degenerazione tramite
un potenziale che agisce solo in una porzione del cubo.
Perturbazioni indipendenti dal tempo: spettro degenere.
Metodo alternativo per determinare gli stati da usare negli sviluppi perturbativi in un sottospazioni degenere, basato
sulla ricerca di operatori che commutano sia con l'hamiltonianio imperturbato che con la perturbazione. Caso della buca quadra.
Cenni alle correzioni perturbative per l'atomo di idrogeno: struttura fine e iperfine.
Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Perturbazione dipendente dal tempo. Rappresentazione di interazione per vettori di stato e operatori. Equazione di Schroedinger in rappresentazione d'interazione. Serie di Dyson.
Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Esempio di una perturbazione costante accesa al tempo t=0. Calcolo della probabilità di transizione da uno stato iniziale assegnato ad uno stato finale diverso.
Relazione di indeterminazione energia-tempo. Regole di selezione.
Perturbazioni dipendenti dal tempo.
Esempio di una perturbazione armonica. Calcolo delle probabilità di transizione per i processi di assorbimento e emissione stimolata. Caso dello spettro denso: densità degli stati e regola aurea di Fermi. Cenni alle applicazioni in spettroscopia. Cenni al problema della quantizzazione del campo elettromagnetico.
Due o più particelle.
Prodotti diretti di spazi di Hilbert. Vettori di stato per $N$ particelle. Caso di due particelle isolate: cambio di coordinate e separabilità dell'hamiltoniano; riduzione a un problema a un corpo.
Sistema di N particelle indistinguibili: operatore di permutazione e simmetria delle osservabili per scambio di coordinate. Stati simmetrici e antisimmetrici. Connessione spin-statistica. Principio di esclusione di Pauli.
Due o più particelle. Entanglement.
Esempi di stati simmetrici e antisimmetrici. Due particelle in due buche. Molecole e legami molecolari. Gas di particelle identiche, lunghezza d'onda di de Broglie e distanza media. Integrale di sovrapposizione e condizioni per trascurare l'indistinguibilità. Definizione di stati separabili e stati entangled. Cenni alle implicazioni dell'entanglement.
Ensemble puri e ensemble misti
Definizione di ensemble misto. Calcolo del valor medio delle osservabili.
Ensemble misti e matrice densità
Definizione dell'operatore densità e della matrice densità e loro proprietà generali.
Evoluzione temporale dell'operatore densit` e analogia con l'equazione di Liuville classica. Esempio
di matrice densità: stati puri e misti di spin nell'esperimento di Stern-Gerlach.
Sintesi dei postulati della meccanica quantistica
Sintesi dei postulati e alcune considerazioni finali sul corso.