Introduzione al corso.
Obiettivi, contenuti e modalità del corso.
Esperimento di Stern-Gerlach.
Apparati di Stern-Gerlach in sequenza e analogia con la polarizzazione della luce.
(10.30-12.30, 2 ore in presenza, gruppo A-K, registrazione disponibile su Moodle)
Stessa lezione ripetuta per il secondo gruppo
(10.30-12.30, 2 ore in presenza, gruppo L-Z, registrazione non disponibile)
Esperimento di Stern-Gerlach.
Interpretazione dell'esperimento in termini di sovrapposizione di stati fisici.
Vettori di stato e operatori.
Definizione di bra e di ket, prodotto interno e norma, operatori lineari, autovettori e autovalori.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, per tutti, registrazione disponibile su Moodle)
Prodotto esterno di vettori di stato, operatori hermitiani e basi ortonormali.
Abbiamo continuato la discussione delle proprietà degli spazi dei vettori di stato,
introducendo il prodotto esterno, gli operatori hermitiani coniugati, la relazione di completezza,
le basi ortonormali degli autovettori di operatori hermitiani.
(9.30-10.30, 1 ora in presenza, gruppo A-K, registrazione disponibile su Moodle)
Stessa lezione ripetuta per il secondo gruppo
(8.30-9.30, 1 ora in presenza, gruppo L-Z, registrazione disponibile su Moodle)
Rappresentazione di operatori e vettori.
Abbiamo visto come si usano le basi degli spazi vettoriali per rappresentare gli operatori con matrici e i vettori di stato con n-uple di numeri complessi. In questo modo si possono usare le usuali regole dell'algebra lineare.
Misura in meccanica quantistica.
Postulato della misura, collasso dei vettori di stato, probabilità di ottenere
un certo esito nella misura di un'osservabile. Valori di aspettazione.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, per tutti, registrazione disponibile su Moodle)
Misura in meccanica quantistica.
Abbiamo rivisto l'esperimento di Stern-Gerlach alla luce del postulato della misura. Abbiamo scritto gli stati di spin lungo x e y come combinazioni lineari degli stati di base, presi come gli autostati dello spin lungo z, senza ricorrere all'analogia con la polarizzazione della luce. Abbiamo ricavato le matrici che rappresentano gli operatori dello spin nelle tre direzioni (matrici di Pauli).
(1 ora a distanza, in modalità asincrona, disponibile su Moodle)
Postulato della misura, osservabili compatibili e incompatibili
Ho risposto ad alcune domande sul postulato della misura. Poi abbiamo definito le osservabili compatibili e incompatibili ed abbiamo iniziato una discussione sulle misure in sequenza.
(9.30-10.30, 1 ora in presenza, gruppo A-K, registrazione disponibile su Moodle)
Stessa lezione ripetuta per il secondo gruppo
(9.30-10.30, 1 ora in presenza, gruppo L-Z, registrazione disponibile su Moodle)
Osservabili compatibili e incompatibili.
Misure di diverse osservabili in sequenza. Indeterminazione nella misura di un'osservabile. Relazione di indeterminazione.
Cambiamenti di base.
Operatore U per il cambiamento di base nello spazio dei vettori di stato e sue proprietà.
Spettri continui.
Osservabili con spettro continuo. Esempio della posizione. Proprità degli autostati. Delta di Dirac.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza , registrazione disponibile su Moodle)
Traslazioni spaziali, momento, regole di commutazione canonica.
Traslazioni spaziali e osservabile momento. Relazioni di commutazione canonica. Principio di indeterminazione di Heisenberg.
Funzioni d'onda.
Definizione di funzione d'onda nello spazio delle coordinate e calcolo del valore di aspettazione di funzioni della posizione.
(1 ora a distanza, in modalità asincrona, disponibile su Moodle)
Domande/risposte.
Risposta a domande sulle lezioni precedenti.
Funzioni d'onda nello spazio dei momenti.
Valore d'aspettazione di funzioni del momento nella rappresentazione delle coordinate. Rappresentazione del momento come derivata spaziale.
(10.30-11.30, 1 ora in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Funzioni d'onda nello spazio dei momenti.
Trasformate di Fourier per il cambiamento di base dalla rappresentazione delle coordinate a quella dei momenti e viceversa. Pacchetti d'onda e loro significato.
Dinamica quantistica.
Come introdurre il tempo in meccanica quantistica non-relativistica.
Operatore di evoluzione temporale. L'operatore hamiltoniano come
generatore delle traslazioni temporali. L'equazione di Schroedinger per l'operatore
di evoluzione temporale e per i vettori di stato.
Equazione di Schroedinger per una particella soggetta ad un potenziale, scritta nella rappresentazione delle funzioni d'onda.
(10.30-12.30, 2 ore in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Dinamica quantistica.
Commenti all'equazione di Schroedinger. Forma analitica dell'operatore di evoluzione temporale nel caso di hamiltoniano indipendente dal tempo. Cenni alle soluzioni nel caso di hamiltoniano dipendente dal tempo.
(1 ora a distanza, modalità asincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Costanti del moto e stati stazionari.
Osservabili che commutano tra loro e con H. Evoluzione dei loro autostati (stati stazionari) e dei valori di aspettazione.
Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo.
Precessione dello spin.
Precessione di Larmor di un momento magnetico classico. Versione quantistica con lo spin. Calcolo delle probabilità
di trovare valori positivi o negativi per lo spin in una direzione trasversa al campo magnetico in funzione del tempo.
Misura del fattore giromagnetico.
(9.30-11.30, 2 ore in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Precessione dello spin.
Abbiamo concluso i ragionamenti sulla precessione dello spin analizzando il significato
delle misure e evidenziando le differenze rispetto al caso di un momento magnetico classico.
Rappresentazione di Heisenberg.
Definizione di operatori nella rappresentazione di Heisenberg.
Equazione del moto. Esempio della particella libera e della particella in un potenziale scalare.
Regola di quantizzazione di Dirac per parentesi di Poisson e commutatori.
(10.30-12.30, 2 ore in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Teorema di Ehrenfest.
Equazione del moto di Heisenberg per gli operatori posizione e momento per una particella soggetta ad un
potenziale scalare. Teorema di Ehrenfest e suo significato fisico. Limite classico della meccanica
quantistica.
(9.30-10.30, 1 ora in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Oscillatore armonico in una dimensione.
Calcolo dello spettro dell'oscillatore armonico con il metodo algebrico (operatori e loro regole
di commutazione). Funzioni d'onda degli stati stazionari. Stato fondamentale di minima indeterminazione.
Evoluzione temporale degli operatori e dei valori di aspettazione. Stati coerenti.
Cenni all'equazione di Schroedinger stazionaria e alle sue soluzioni
analitiche.
(10.30-12.30, 2 ore in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Densità di corrente di probabilità e equazione di continuità.
Dall'equazione di Schroedinger per una particella abbiamo ricavato l'equazione di continuità per la probabilità e abbiamo definito la densità di corrente di probabilità. Abbiamo visto come si applica nel caso di fasci di particelle preparati in modo tale da approssimare un autostato del momento.
(1 ora a distanza, asincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Momento angolare
Definizione di momento angolare quantistico a partire dal suo analogo classico. Regole di commutazione.
Operatori a scala. Abbiamo iniziato a calcolare lo spettro del momento angolare con un metodo algebrico.
(10.30-11.30, 1 ora in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Momento angolare
Calcolo dello spettro del momento angolare con il metodo algebrico, usando gli operatori a scala e
le regole di commutazione. Inizio del ragionamento sul legame tra momento angolare orbitale e rotazioni.
Generatori delle rotazioni infinitesime. Considerazioni sulla
non commutatività delle componenti del momento angolare. Rappresentazione del momento
angolare nello spazio delle funzioni d'onda.
(10.30-12.30, 2 ore in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Momento angolare
Spettro del momento angolare orbitale: condizione imposta dal fatto che le funzioni d'onda sono monodrome.
Autofunzioni del momento angolare e armoniche sferiche.
Domande/risposte.
Risposta a domande.
(9.30-11.30, 2 ore in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Moto in un campo centrale
Moto di una particella in un campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare.
Autostati comuni dell'hamiltoniano e di L2. Equazione di Schroedinger stazionaria e
fattorizzazione delle funzioni d'onda in una parte radiale e nelle armoniche sferiche.
Atomo d'idrogeno.
Equazione di Schroedinger per un elettrone nell'atomo di idrogeno. Limiti asintotici,
sviluppo in serie e formule di ricorrenza.
(11.30-12.30, 1 ora in presenza, registrazione disponibile su Moodle)
Atomo d'idrogeno.
Spettro energetico e degenerazione dei
livelli. Confronto con la vecchia teoria dei quanti. Significato degli orbitali.
Polinomi di Laguerre.
Spin.
Le regole di commutazione degli operatori di spin sono le stesse del momento angolare
orbitale. Lo spettro è lo stesso eccetto che sono ammessi anche gli autovalori
seminteri.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Spin.
La rotazione associata agli operatori di spin è una rotazione nello
spazio dei vettori di stato di spin e non nello spazio euclideo. Abbiamo definito
il prodotto diretto (o tensoriale) di spazi di Hilbert. Abbiamo parlato di addizione di
momenti angolari, orbitali o di spin.
Addizione di momenti angolari.
Momento angolare totale. Esempi di hamiltoniane per cui i momenti angolari singolarmente non
sono costanti del moto ma la loro somma sì: una particella con interazione di
spin-orbita e due particelle interagenti tra loro con un potenziale che dipende dalla distanza
relativa. Spettro del momento angolare. Esempio di due particelle con spin 1/2. Caso generale e
coefficienti di Clebsch-Gordan.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Addizione di momenti angolari.
Considerazioni finali sull'addizione di due spin e due momenti angolari qualsiasi e sui
coefficienti di Clebsch-Gordan.
Metodi approssimati e teoria delle perturbazioni.
Premessa sui vantaggi e svantaggi delle soluzioni analitiche, numeriche e approssimate nella
descrizione dei sistemi fisici, classici e quantistici.
Perturbazioni indipendenti dal tempo.
Sviluppo perturbativo dell'energia e degli autostati dell'hamiltoniano, con spettro
non degenere. Esempio di un sistema a due livelli di cui è nota la soluzione
esatta. Calcolo delle correzioni perturbative in forma generale. Espressioni
esplicite per le correzioni all'energia e agli stati al primo e al secondo ordine
perturbativo.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo.
Esempio di applicazione della teoria perturbativa: oscillatore armonico con
perturbazione lineare, quadratica e cubica.
Applicazione della teoria perturbativa a stati che appartengono a sottospazi di
stati degeneri dello spettro dell'hamiltoniano imperturbato.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo.
Commenti sulle applicazioni della teoria delle perturbazioni per spettri degeneri; l'atomo di idrogeno, la struttura fine e iperfine dello spettro. Esercizio della particella in una buca cubica infinita con perturbazione a scalino in una parte del cubo.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.
Perturbazione dipendente dal tempo. Rappresentazione di interazione per vettori di stato e operatori. Equazione di Schroedinger in rappresentazione d'interazione. Serie di Dyson.
Esempio di una perturbazione costante accesa al tempo t=0. Calcolo della probabilità di transizione da uno stato iniziale assegnato ad uno stato finale diverso.
Relazione di indeterminazione energia-tempo. Regole di selezione.
Esempio di una perturbazione armonica. Calcolo delle probabilità di transizione per i processi di assorbimento e emissione stimolata.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.
Caso dello spettro denso: densità degli stati e regola aurea di Fermi.
Cenni alle applicazioni in spettroscopia.
Cenni al problema della quantizzazione del campo elettromagnetico.
Metodi variazionali.
Stima dell'energia di un sistema con il metodo variazionale.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Due o più particelle.
Prodotti diretti di spazi di Hilbert. Vettori di stato per N particelle.
Caso di due particelle isolate: cambio di coordinate e separabilità dell'hamiltoniano;
riduzione a un problema a un corpo.
Sistema di N particelle indistinguibili: operatore di permutazione e simmetria
delle osservabili per scambio di coordinate. Stati simmetrici e antisimmetrici.
Connessione spin-statistica. Principio di esclusione di Pauli.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Due o più particelle.
Esempi di stati simmetrici e antisimmetrici. Due particelle in due buche.
Molecole e legami molecolari.
Gas di particelle identiche, lunghezza d'onda di de Broglie e distanza media.
Integrale di sovrapposizione e condizioni per trascurare l'indistinguibilità.
Definizione di stati separabili e stati entangled. Cenni alle implicazioni dell'entanglement.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Ensemble misti e matrice densità.
Definizione dell'operatore densità e della matrice densità e loro proprietà generali.
Evoluzione temporale dell'operatore densit` e analogia con l'equazione di Liuville classica. Esempio
di matrice densità: stati puri e misti di spin nell'esperimento di Stern-Gerlach.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Conclusioni
Abbiamo dedicato la lezione a rispondere ad alcune domande sulle lezioni precedenti e a sintetizzare i contenuti principali
del corso.
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)
Conclusioni
Abbiamo discusso alcuni aspetti generali della meccanica quantistica (interpretazioni, informazione, paradossi, coerenza e decoerenza).
(10.30-12.30, 2 ore a distanza, modalità sincrona, registrazione disponibile su Moodle)